- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr en de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 mathml 0 Fie si doua mulลฃimi, atunci diferenลฃa dintre ลi este .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Douฤ mulลฃimi ลi sunt egale (scris ), dacฤ au aceleaลi elemente.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr en de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Fie o mulลฃime, atunci mulลฃimea tuturor submulลฃimilor lui este .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 mathml 0 mathml 0 Fie ลi doua mulลฃimi, atunci mulลฃimea de perechi de ลi este definitฤ ca , numim o pereche .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 Fie ลi doua mulลฃimi, atunci mulลฃimea de perechi de ลi este definitฤ ca , numim o pereche .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr en de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Fie ลi douฤ mulลฃimi, atunci reuniunea lui ลi este definitฤ ca
- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 O mulลฃime este o submulลฃime a unei mulลฃimi (scris ), dacฤ toate sunt elemente ale lui .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 O mulลฃime este o submulลฃime proprie a unei mulลฃimi (scris ), dacฤ ลi .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 O mulลฃime este o super-mulลฃime a unei mulลฃimi (scris ), dacฤ .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 O mulลฃime este o super-mulลฃime proprie a unei mulลฃimi (scris ), dacฤ .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The number , sometimes called Eulerโs constant (also known as Napierโs constant ) is an important mathematical constant.
- Definition, Concept Graph de
A sequence of real numbers is -additive if each number in the sequence, after the initial terms of the sequence, has exactly representations as a sum of two previous numbers.
- Definition, Concept Graph de
We call a formula an alphabetic variant of (or -equal ; write ), iff can be obtained from by systematically renaming bound variables.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs de
Languages Arguments Rendering mathml 2 We write the -fold composition of the relation as and define it by and
- Definition, Concept Graph de
An integer whose prime factors have exponents at least is called a -powerful number , -ful number , or -full number .
- Definition, Concept Graph de
An integer whose prime factors have exponents at least is called a -powerful number , -ful number , or -full number .
- Definition, Concept Graph de
A number is called multiperfect or -perfect for a given natural number , if and only if the sum of all positive divisors of is equal to .
- Definition, Concept Graph de
An integer whose prime factors have exponents at least is called a -powerful number , -ful number , or -full number .
- Definition, Concept Graph de
A natural number is called -powersmooth if all prime powers dividing satisfy:
- Definition, Concept Graph de
If in a graph all the vertices have the same degree, say , then is called -regular , or simply regular .
- Definition, Concept Graph de
A -rough number is a positive integer whose prime factors are all greater than or equal to .
- Definition, Concept Graph de
A -simplex is a -dimensional convex polytope which is the convex hull of affinely independent points in .
- Definition, Concept Graph de
A positive integer is called -smooth if none of its prime factors is greater than .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The -Ulam numbers form an integer sequence . The -Ulam sequence starts with and . Then for , is defined to be the smallest integer that is the sum of two distinct earlier terms in exactly one way.
- Definition, Concept Graph de
The -Ulam numbers form an integer sequence . The -Ulam sequence starts with and . Then for , is defined to be the smallest integer that is the sum of two distinct earlier terms in exactly one way.
- Definition, Concept Graph de
A semiprime (also called biprime or 2-almost prime , or pq number ) is a natural number that is the product of two (not necessarily distinct) prime numbers .
- Definition, Concept Graph de
A powerful number is the product of a square and a cube. Powerful numbers are also known as squareful numbers , square-full numbers , or 2-full numbers .
A powerful number is a positive integer such that for every prime number dividing , also divides .
- Definition, Concept Graph de
Aban numbers are defined as numbers whose English names do not contain the letter โaโ (i.e., โaโ is banned). The first numbers are , and .
- Definition, Concept Graph de
ABC Conjecture : For every , there exist only finitely many triples of coprime positive integers with such that
ABC Conjecture : For every , there exist only finitely many triples of coprime natural numbers , with , such that
- Definition, Concept Graph de
An group whose operation is commutative is called a commutative group or a Abelian group .
- Definition, Concept Graph de
An monoid whose operation is commutative is called a commutative monoid or (more rarely) a Abelian monoid .
- Definition, Concept Graph de
Given a vector space over a subfield of the complex numbers , a norm on is a function such that for all and
-
1.
( absolute homogeneity or absolute scalability ).
-
2.
( triangle inequality or subadditivity ).
-
3.
If , then is the zero vector ( separates points ).
We call the pair a normed vector space with norm
-
1.
- Definition, Concept Graph de
Given a vector space over a subfield of the complex numbers , a norm on is a function such that for all and
-
1.
( absolute homogeneity or absolute scalability ).
-
2.
( triangle inequality or subadditivity ).
-
3.
If , then is the zero vector ( separates points ).
We call the pair a normed vector space with norm
-
1.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The absolute value of a real number is defined as .
- Definition, Concept Graph de
A number is absolutely non-normal or absolutely abnormal if it is not simply normal in any base.
- Definition, Concept Graph de
A number is absolutely non-normal or absolutely abnormal if it is not simply normal in any base.
- Definition, Concept Graph
An abstract reduction system (or abstract rewriting system , or ARS ) consists of a set together with a relation . The relation is written as or simply as .
The transitive-reflexive closure of is denoted by . To distinguish the original relation it is sometimes written as .
- Definition, Concept Graph
An abstract reduction system (or abstract rewriting system , or ARS ) consists of a set together with a relation . The relation is written as or simply as .
The transitive-reflexive closure of is denoted by . To distinguish the original relation it is sometimes written as .
- Definition, Concept Graph de
The abundancy of a number is defined as the ratio , where is the sum-of-divisors function .
- Definition, Concept Graph de
An abundant number or excessive number is a natural number for which the sum of its proper divisors is greater than the number itself.
- Definition, Concept Graph de
An Achilles number is a natural number that is powerful but not a perfect power.
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Real addition , subtraction , multiplication , division , and exponentiation are extended to the real numbers , so that they respect limits.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Addition is extended to the integers by defining the sum as
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Addition computes the sum of of natural numbers and . It defined by the equations and , where is the successor function.
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Addition on complex numbers , is defined as .
- Definition, Concept Graph
The number of times the digits must be summed to reach the digital sum is called a numberโs additive persistence .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 2 Additon computes the sum of of numbers and .
- Definition, Concept Graph de
Two distinct edges and are adjacent if they have an end in common.
Two vertices and in a graph are adjacent , or neighbours , if is an edge of .
- Definition, Concept Graph de
Let be a field , then we call an element algebraic , iff is a root of some non-zero polynomial with coefficients in .
- Definition, Concept Graph
An algebraically closed field contains a root for every non-constant polynomial in .
- Definition, Concept Graph de
An aliquot sequence starting with a positive integer is a recursive sequence in which each term is the sum of the proper divisors of the previous term.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The aliquot sum is defined as the sum of the proper divisors of .
- Definition, Concept Graph de
A natural number is called - almost prime if it has exactly prime factors , counted with multiplicity.
- Definition, Concept Graph de
An alphabet is a finite set; we call each element a character , and an -tuple of a word (or string ) of over . We will often write a string as or even as . We write the empty word ( empty string ) in with .
- Definition, Concept Graph de
We call a formula an alphabetic variant of (or -equal ; write ), iff can be obtained from by systematically renaming bound variables.
- Definition, Concept Graph de
An (language depended) alphamagic square is a magic square in which the number of letters in the name of each number in the square generates another magic square.
- Definition, Concept Graph de
Amicable numbers are two different numbers so related that the sum of the divisors (without the numbers themselves) of each is equal to the other number.
The smallest pair of amicable numbers is .
- Definition, Concept Graph de
Let . A function is analytic if has a Taylor series about each point that converges pointwise to the function in an open neighborhood of .
- Definition, Concept Graph de
An antimagic square of order is an arrangement of the numbers to in a square, such that the sums of the rows, the columns and the two diagonals form a sequence of consecutive integers .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 We call two mathematical objects and approximately equal , (written ), iff they are discerned only by properties of less relevance in the current situation.
- Definition, Concept Graph
A group with a total order on its elements is called Archimedean if for all there is an , such that .
- Definition, Concept Graph de
A graph is a pair such that is a set and is a subset of the set of pairs from . We call the vertices (or nodes , point s, junctions ) and the edges (or lines , branches , arcs ) of .
- Definition, Concept Graph de
In number theory , an arithmetic , arithmetical , or number-theoretic function is a real or complex -valued function defined on the set of natural numbers .
The identity function is called :
The following symbols are used:
the sum or product is over all prime numbers the sum or product is over all prime powers the sum or product is over all positive divisors of the sum or product is over all prime divisors of the sum or product is over all prime powers dividing - Definition, Concept Graph de
In number theory , an arithmetic , arithmetical , or number-theoretic function is a real or complex -valued function defined on the set of natural numbers .
The identity function is called :
The following symbols are used:
the sum or product is over all prime numbers the sum or product is over all prime powers the sum or product is over all positive divisors of the sum or product is over all prime divisors of the sum or product is over all prime powers dividing - Definition, Concept Graph
An abstract reduction system (or abstract rewriting system , or ARS ) consists of a set together with a relation . The relation is written as or simply as .
The transitive-reflexive closure of is denoted by . To distinguish the original relation it is sometimes written as .
- Definition, Concept Graph de
An aspiring number is a positive integer that are not perfect , but have an eventually repeating aliquot sequence of period .
- Definition, Concept Graph de
An associative magic square is a magic square for which every pair of numbers symmetrically opposite to the center sum up to the same value.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 A subset of positive integers has an asymptotic density (or natural density ) , where , if the limit exists
is the number of elements of less than or equal to .
- Definition, Concept Graph zhs
A atlas for a topological space is a collection of charts on such that their domains cover .
- Definition, Concept Graph de
The degree (or valency ) of a vertex is the number of edges at , this equal to the number of neighbours of . A vertex of degree is called isolated vertex . The number is the minimum degree of , the number is the maximum degree of . The number is the average degree of .
- Definition, Concept Graph de
The Bailey-Borwein-Plouffe formula ( BBP formula ) is a series for the computation of :
- Definition, Concept Graph de
A balanced prime is a prime number that is equal to the arithmetic mean of the nearest primes above and below.
where is the th prime number.
- Definition, Concept Graph de
A Banach space is a normed vector space that is complete in the metric induced by its norm.
- Definition, Concept Graph de
A number is called a barrier of a number-theoretic function if, for all , .
- Definition, Concept Graph de
A positional number system is a numeral system that uses positional notation (also called place-value notation ) to encode a number by a sequence of digits .
A positional number system for a number system is given as a pair , where is a finite set of digit (s we call the base or radix of ) and a injective mapping from to .
positional notation extends to a bijective mapping from finite sequences over to using the arithmetics of by interpreting a finite sequence as a sum of successive powers multiplied by . Details vary with .
- Definition, Concept Graph de
The exponentiation operation raises a number (the base ) to the power (the exponent ). We define it as
- Definition, Concept Graph de
Exponentiation raises a number (the base ) to the power (the exponent ). We define
- Definition, Concept Graph de
Exponentiation aises a natural number (the base ) to the -th power ( is called the exponent ). We define and .
- Definition, Concept Graph de
Exponentiation aises a number (the base ) to the -th power ( is called the exponent ).
- Definition, Concept Graph de
The logarithm of a number is to the base is that such that . The logarithm function the inverse function to the exponential function.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 Given a base , a set of digits , and a bijection , then the base encoding of a number is , iff we call the th digit of (in base ) and write it as .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 Given a base , a set of digits , and a bijection , then the base encoding of a number is given by the finite sequence together the infinite sequence (we write them separated by a comma or dot), iff
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 is called a magma (also groupoid ), if is a set and is a binary function . is called the base set of and its operation .
- Definition, Concept Graph de
Let be a set, then we call a function a distance function (or metric ) on , iff for all the following three identities hold:
-
1.
iff ( identity of indiscernibles ),
-
2.
( symmetry ), and
-
3.
( triangle inequality ).
We call a metric space with base set and metric .
-
1.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 A repunit is a natural number that contains only the digit .
The base-b repunits are defined as for and .
A repunit prime is a repunit that is also a prime number .
- Definition, Concept Graph de
The Baxter-Hickerson function is defined for non-negative integers by
It produces numbers whose cubes are zerofree.
- Definition, Concept Graph de
The Bailey-Borwein-Plouffe formula ( BBP formula ) is a series for the computation of :
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The th Beraha constant is defind by
- Definition, Concept Graph zhs de
A function is called bijective (or a bijection ), iff is injective and surjective .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 The binomial coefficient (written as in French) is defined to be the number of -element subsets of an -element set.
- Definition, Concept Graph de
A semiprime (also called biprime or 2-almost prime , or pq number ) is a natural number that is the product of two (not necessarily distinct) prime numbers .
- Definition, Concept Graph de
A natural number is a Blum integer if is a semiprime for which and are distinct prime numbers congruent to modulo .
- Definition, Concept Graph
If in a graph there are and such that every โ path in contains a vertex or an edge from , we say that separate s the sets and in . This implies that . More generally we say that separates if is disconnected, that is, if separates in some two vertices that are not in .
A separating set of vertices is a separator . Seperating sets do not have a generic name, but some sets do, we have, for example, cuts and bonds . A vertex which separates two other vertices of the same component is a cutvertex , an edge separating its ends is a bridge . Thus, the bridges in a graph are precisely those edges that do not lie on a cycle .
- Definition, Concept Graph de
A graph is a pair such that is a set and is a subset of the set of pairs from . We call the vertices (or nodes , point s, junctions ) and the edges (or lines , branches , arcs ) of .
- Definition, Concept Graph de
If in a graph there are and such that every โ path in contains a vertex or an edge from , we say that separate s the sets and in . This implies that . More generally we say that separates if is disconnected, that is, if separates in some two vertices that are not in .
A separating set of vertices is a separator . Seperating sets do not have a generic name, but some sets do, we have, for example, cuts and bonds . A vertex which separates two other vertices of the same component is a cutvertex , an edge separating its ends is a bridge . Thus, the bridges in a graph are precisely those edges that do not lie on a cycle .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 The common logarithm is the logarithm to the base 10. It is also known as the decadic logarithm and also as the decimal logarithm , named after its base, or Briggsian logarithm after Henry Briggs who introduced it.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The sum of the reciprocals of the twin primes converges to a finite value, the Brunโs constant .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The sum of the reciprocals of the Cousin primes converges to a finite value, the Brunโs constant for cousin primes .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The sum of the reciprocals of the prime quadruplets converges to a finite value, the Brunโs constant for prime quadruplets .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The th cabtaxi number is defined as the smallest positive integer that can be expressed as a sum or a difference of two cubes (included ) in distinct ways.
For example:
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 Let be the Sylvester sequence .
Cahenโs constant is defined as an infinite series of unit fractions with alternating signs
- Definition, Concept Graph de
Let be the Sylvester sequence .
Cahenโs constant is an Egyptian fraction formed by an infinite series of unit fractions , which denominators are the even elements of Sylvesterโs sequence:
We have
and thus
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The cake number is the maximum number of regions into which a 3-dimensional cube can be partitioned by exactly planes.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 mathml 0 We say that a set is finite and has cardinality (or size ) , iff there is a bijective function .
The cardinality of a set is also written as , , , or .
- Definition, Concept Graph de
In number theory , a Carmichael number is a composite positive integer which satisfies the congruence for all integers . They are named for Robert Carmichael.
- Definition, Concept Graph de
The Cassini identity is an identity for integers and the Fibonacci numbers .
- Definition, Concept Graph de
The Catalan identity is an identity for integers , and the Fibonacci numbers .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The Catalan numbers form a sequence of natural numbers defind by
for .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The Catalan-Mersenne numbers are Mersenne numbers recursively defind by .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 The ceiling of a real number is the smallest integer that is greater or equal to . The ceiling function is also called the least integer function .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The central Delannoy numbers are the Delannoy numbers for a square grid.
The first central Delannoy numbers are:
- Definition, Concept Graph de
The central polygonal numbers or lazy catererโs sequence describes the maximum number of pieces of a circle (or a plane) that can be made with a given number of straight cuts.
- Definition, Concept Graph
The Champernowne constant is a normal number for base .
It is defined by concatenating representations of successive integers :
Champernowne constants can also be constructed in other bases.
- Definition, Concept Graph de
An alphabet is a finite set; we call each element a character , and an -tuple of a word (or string ) of over . We will often write a string as or even as . We write the empty word ( empty string ) in with .
- Definition, Concept Graph zhs
A chart for a topological space is a homeomorphism from an open subset of to an open subset of an Euclidean space .
- Definition, Concept Graph de
The summatory von Mangoldt function , also known as the Chebyshev function , is defined as
- Definition, Concept Graph de
If in a graph which contains a cycle , an edge of joins two vertices of but is not itself an edge of the cycle, then this edge is a chord of the cycle . Thus a cycle is chordless iff it is an induced cycle in .
- Definition, Concept Graph de
If in a graph which contains a cycle , an edge of joins two vertices of but is not itself an edge of the cycle, then this edge is a chord of the cycle . Thus a cycle is chordless iff it is an induced cycle in .
- Definition, Concept Graph de
A prime number is a circular prime if all numbers generated by cyclically permuting of its digits are prime.
For example, is a circular prime, because and also primes.
- Definition, Concept Graph de
For a graph , the minimum length of a cycle contained in is the girth of . The maximum length of a cycle contained in is the circumference of . For a graph which does not contain a cycle the girth is set to , its circumference is set to zero.
- Definition, Concept Graph zhs de
Let be a set , then a Kuratowski closure operator (or simply closure operator ) is an assignment with the following properties:
-
1.
( preservation of nullary union
-
2.
for every subset ( extensitivity )
-
3.
( preservation of binary union )
-
4.
for every subset ( idempotence )
Without the idempotence axiom, we speak of a preclosure operator .
We call a set closed , iff .
-
1.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 Let be a metric space , then we call the set the open ball and the closed ball around with radius . We also write and .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Let be a set , then a Kuratowski closure operator (or simply closure operator ) is an assignment with the following properties:
-
1.
( preservation of nullary union
-
2.
for every subset ( extensitivity )
-
3.
( preservation of binary union )
-
4.
for every subset ( idempotence )
Without the idempotence axiom, we speak of a preclosure operator .
We call a set closed , iff .
-
1.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 Two integers are said to be coprime (also spelled co-prime ), relatively prime or mutually prime if their greatest common divisor is .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 A relation , is called a partial function with domain (write ) and codomain (write ), iff for all there is at most one with .
We write and instead of .
A relation , is called a partial function with domain (write ) and codomain (write ), iff for all there is at most one with .
We write and instead of .
- Definition, Concept Graph de
A self number , Colombian number or Devlali number is an positive integer which, in a given base, cannot be generated by any other integer added to the digit sum of this other integer.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 The common logarithm is the logarithm to the base 10. It is also known as the decadic logarithm and also as the decimal logarithm , named after its base, or Briggsian logarithm after Henry Briggs who introduced it.
- Definition, Concept Graph de
, we say that commute , iff . The operation is called commutative on , iff all commute .
- Definition, Concept Graph de
An group whose operation is commutative is called a commutative group or a Abelian group .
- Definition, Concept Graph de
An monoid whose operation is commutative is called a commutative monoid or (more rarely) a Abelian monoid .
- Definition, Concept Graph de
An commutative ring is a ring whose multiplikative structure is a commutative monoid.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 Let be a group and . Then we define the commutator of and as . It is equal to the groupโs unit if and only if and commute .
- Definition, Concept Graph de
, we say that commute , iff . The operation is called commutative on , iff all commute .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The companion Pell numbers or Pell-Lucas numbers are defined by the recurrence relation
- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr ro de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 mathml 0 Let and be sets, then the set difference of and is .
We also call the relative complement or simply complement of in . If is clear from the context, we write for the complement of in .
- Definition, Concept Graph de
A metric space is called complete (or a complete space ), iff every Cauchy sequence in is convergent .
- Definition, Concept Graph de
If in a graph all vertices are pairwise adjacent , then we call complete . A complete graph on vertices is denoted by .
- Definition, Concept Graph de
If in a graph all vertices are pairwise adjacent , then we call complete . A complete graph on vertices is denoted by .
- Definition, Concept Graph de
A metric space is called complete (or a complete space ), iff every Cauchy sequence in is convergent .
- Definition, Concept Graph de
Let be a graph. A maximal connected subgraph of is a component of . The vertex sets of the components of partition the vertex set of . Since connected graphs are non-empty, the empty graph , and only the empty graph has no components.
- Definition, Concept Graph de
A structure combines multiple mathematical objects (the components ) into a new object. Structures are usually given as finite enumerations, where the components have names by which they can be referenced.
- Definition, Concept Graph de
A composite number is a positive integer that has at least one positive divisor other than 1 or itself.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The composition of two relations and is defined as
- Definition, Concept Graph
We say that an abstract reduction system
-
โข
has the diamond property (or is strongly confluent ), iff for every with there is a with and .
-
โข
is confluent , iff for every with there is a with and .
-
โข
weakly confluent iff for every with there is a with and .
diamond confluent weakly property confluent [yscale=.7,xscale=.7] โnode(a) at (1,2) a; โnode(b) at (0,1) b; โnode(c) at (2,1) c; โnode(d) at (1,0) d; โdraw[-ยฟ] (a) โ (b); โdraw[-ยฟ] (a) โ (c); โdraw[-ยฟ] (b) โ (d); โdraw[-ยฟ] (c) โ (d); [yscale=.7,xscale=.7] โnode(a) at (1,2) a; โnode(b) at (0,1) b; โnode(c) at (2,1) c; โnode(d) at (1,0) d; โdraw[-ยฟ] (a) โ node [left,near end] * (b); โdraw[-ยฟ] (a) โ node [right,near end] * (c); โdraw[-ยฟ] (b) โ node [left,at end] * (d); โdraw[-ยฟ] (c) โ node [right,at end] * (d); [yscale=.7,xscale=.7] โnode(a) at (1,2) a; โnode(b) at (0,1) b; โnode(c) at (2,1) c; โnode(d) at (1,0) d; โdraw[-ยฟ] (a) โ (b); โdraw[-ยฟ] (a) โ (c); โdraw[-ยฟ] (b) โ node [left,at end] * (d); โdraw[-ยฟ] (c) โ node [right,at end] * (d); -
โข
- Definition, Concept Graph
For a positive integer , two integers and are said to be congruent modulo , written: if divides their difference .
The number is called the modulus of the congruence .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 For a positive integer , two integers and are said to be congruent modulo , written: if divides their difference .
The number is called the modulus of the congruence .
- Definition, Concept Graph
A non-empty graph is said to be a connected graph if any two of its vertices are linked by a path in . If the subgraph , induced by a subset of the vertex set , is connected, we call itself connected (in ). For the negation we usually prefer โ disconnected โ over โ not connected โ.
- Definition, Concept Graph de
A non-empty graph is said to be a connected graph if any two of its vertices are linked by a path in . If the subgraph , induced by a subset of the vertex set , is connected, we call itself connected (in ). For the negation we usually prefer โ disconnected โ over โ not connected โ.
- Definition, Concept Graph de
We say that a sequence is convergent , iff it converges against a limit .
- Definition, Concept Graph de
A convex polytope is defined as the convex hull of a set of points in Euclidean space .
- Definition, Concept Graph de
The Copeland-Erdรถs constant is a normal number for base defind by the representations of the prime numbers in order.
If is the th prime number. Then we obtain the Copeland-Erdรถs-Zahl as
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 Two integers are said to be coprime (also spelled co-prime ), relatively prime or mutually prime if their greatest common divisor is .
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The cosine function is defined by
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The cosine integral is defined by:
is the Euler-Mascheroni constant .
is the primitive of which is zero for .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The cosine integral is defined by:
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The cosine integral is defined by:
is the primitive of which is zero for .
- Definition, Concept Graph zhs de
We say that a set is countable , iff there is an bijective function with .
- Definition, Concept Graph zhs de
We say that a set is countably infinite , iff there is a bijective function .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 The cross product of two vectors in is their vector product .
- Definition, Concept Graph de
A cubefree taxicab number is a taxicab number that is not divisible by any cube other than .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 A Cullen number is a number of the form
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 A Woodall number is a number of the form for some natural numbers .
Woodall numbers are sometimes called Cullen numbers of the second kind .
Woodall numbers that are also prime numbers are called Woodall primes .
- Definition, Concept Graph
If in a graph there are and such that every โ path in contains a vertex or an edge from , we say that separate s the sets and in . This implies that . More generally we say that separates if is disconnected, that is, if separates in some two vertices that are not in .
A separating set of vertices is a separator . Seperating sets do not have a generic name, but some sets do, we have, for example, cuts and bonds . A vertex which separates two other vertices of the same component is a cutvertex , an edge separating its ends is a bridge . Thus, the bridges in a graph are precisely those edges that do not lie on a cycle .
- Definition, Concept Graph de
If in a graph there are and such that every โ path in contains a vertex or an edge from , we say that separate s the sets and in . This implies that . More generally we say that separates if is disconnected, that is, if separates in some two vertices that are not in .
A separating set of vertices is a separator . Seperating sets do not have a generic name, but some sets do, we have, for example, cuts and bonds . A vertex which separates two other vertices of the same component is a cutvertex , an edge separating its ends is a bridge . Thus, the bridges in a graph are precisely those edges that do not lie on a cycle .
- Definition, Concept Graph de
A group that is generated by a single generator is called a cyclic group .
- Definition, Concept Graph de
A cyclic number is a natural number in which cyclic permutations of the digit are successive multiples of the number.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 The common logarithm is the logarithm to the base 10. It is also known as the decadic logarithm and also as the decimal logarithm , named after its base, or Briggsian logarithm after Henry Briggs who introduced it.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 The common logarithm is the logarithm to the base 10. It is also known as the decadic logarithm and also as the decimal logarithm , named after its base, or Briggsian logarithm after Henry Briggs who introduced it.
- Definition, Concept Graph
A deficient number or defective number is a natural number for which the aliquot sum or, equivalently, the sum of divisors .
The value (or ) is called its deficiency .
- Definition, Concept Graph
A deficient number or defective number is a natural number for which the aliquot sum or, equivalently, the sum of divisors .
The value (or ) is called its deficiency .
- Definition, Concept Graph de
A deficient number or defective number is a natural number for which the aliquot sum or, equivalently, the sum of divisors .
The value (or ) is called its deficiency .
- Definition, Concept Graph de
If does not occur in , we call a pair a definitional equation with definiendum and definiens .
- Definition, Concept Graph de
If does not occur in , we call a pair a definitional equation with definiendum and definiens .
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 2 Given a function and an interval , then the definite integral is defined to be the signed area of the region in the plane bounded by the graph of , the -axis, and the vertical lines and , such that area above the -axis adds to the total, and that below the -axis subtracts from the total.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 If does not occur in , we call a pair a definitional equation with definiendum and definiens .
- Definition, Concept Graph de
The degree (or valency ) of a vertex is the number of edges at , this equal to the number of neighbours of . A vertex of degree is called isolated vertex . The number is the minimum degree of , the number is the maximum degree of . The number is the average degree of .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 A Delannoy number describes the number of paths from the southwest corner of a rectangular grid to the northeast corner , using only single steps north, northeast, or east.
It follows that and for all
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 We call differentiable at a limit point , iff
exists; in this case we say that has derivative at . We say that is differentiable on , iff it is differentiable at every .
- Definition, Concept Graph de
If is differentiable on , then the derivative function of (with respect to ) is defined as
The dependency of on is left implicit in this notation ( Lagrangeโs notation ). In Leibnizโs notation we write the derivative of with respect to as and the derivative of at as or . In Eulerโs notation , this is written as and in Newtonโs notation as .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 The determinant of an matrix is defined by
where is the symmetric group of the set of element, the sign of .
- Definition, Concept Graph de
A self number , Colombian number or Devlali number is an positive integer which, in a given base, cannot be generated by any other integer added to the digit sum of this other integer.
- Definition, Concept Graph
We say that an abstract reduction system
-
โข
has the diamond property (or is strongly confluent ), iff for every with there is a with and .
-
โข
is confluent , iff for every with there is a with and .
-
โข
weakly confluent iff for every with there is a with and .
diamond confluent weakly property confluent [yscale=.7,xscale=.7] โnode(a) at (1,2) a; โnode(b) at (0,1) b; โnode(c) at (2,1) c; โnode(d) at (1,0) d; โdraw[-ยฟ] (a) โ (b); โdraw[-ยฟ] (a) โ (c); โdraw[-ยฟ] (b) โ (d); โdraw[-ยฟ] (c) โ (d); [yscale=.7,xscale=.7] โnode(a) at (1,2) a; โnode(b) at (0,1) b; โnode(c) at (2,1) c; โnode(d) at (1,0) d; โdraw[-ยฟ] (a) โ node [left,near end] * (b); โdraw[-ยฟ] (a) โ node [right,near end] * (c); โdraw[-ยฟ] (b) โ node [left,at end] * (d); โdraw[-ยฟ] (c) โ node [right,at end] * (d); [yscale=.7,xscale=.7] โnode(a) at (1,2) a; โnode(b) at (0,1) b; โnode(c) at (2,1) c; โnode(d) at (1,0) d; โdraw[-ยฟ] (a) โ (b); โdraw[-ยฟ] (a) โ (c); โdraw[-ยฟ] (b) โ node [left,at end] * (d); โdraw[-ยฟ] (c) โ node [right,at end] * (d); -
โข
- Definition, Concept Graph de
The subtraction operator computes the difference of and which is defined as .
- Definition, Concept Graph de
Subtraction computes the difference of natural numbers and . It is defined as is that natural number โ if it exists, such that .
- Definition, Concept Graph de
Subtraction computes the difference of and . It is defined as is that number โ if it exists, such that .
- Definition, Concept Graph
The subtraction operator computes the the difference of and which is defined as .
- Definition, Concept Graph de
We call differentiable at a limit point , iff
exists; in this case we say that has derivative at . We say that is differentiable on , iff it is differentiable at every .
- Definition, Concept Graph de
We call differentiable at a limit point , iff
exists; in this case we say that has derivative at . We say that is differentiable on , iff it is differentiable at every .
- Definition, Concept Graph de
The digit product of a given natural number is the product of all its digits .
- Definition, Concept Graph de
The digital root (also repeated digital sum ) of a number is the (single digit ) value obtained by an iterative process of summing digit , on each iteration using the result from the previous iteration to compute a digit sum . The process continues until a single- digit number is reached.
- Definition, Concept Graph de
A positional number system is a numeral system that uses positional notation (also called place-value notation ) to encode a number by a sequence of digits .
A positional number system for a number system is given as a pair , where is a finite set of digit (s we call the base or radix of ) and a injective mapping from to .
positional notation extends to a bijective mapping from finite sequences over to using the arithmetics of by interpreting a finite sequence as a sum of successive powers multiplied by . Details vary with .
- Definition, Concept Graph de
A directed graph (also called digraph or oriented graph ) is a pair such that is a set and . We call the vertices (or nodes ) and the edges of .
- Definition, Concept Graph de
A Diophantine equation is a polynomial equation that allows the variables to take integer values only.
- Definition, Concept Graph de
A directed graph (also called digraph or oriented graph ) is a pair such that is a set and . We call the vertices (or nodes ) and the edges of .
- Definition, Concept Graph zhs
If is a preorder on a set , then is called a directed set , iff all have an upper bound .
- Definition, Concept Graph zhs
A topological space is called disconnected if it is the union of two disjoint non-empty open sets.
- Definition, Concept Graph de
A non-empty graph is said to be a connected graph if any two of its vertices are linked by a path in . If the subgraph , induced by a subset of the vertex set , is connected, we call itself connected (in ). For the negation we usually prefer โ disconnected โ over โ not connected โ.
- Definition, Concept Graph de
Let be a set, then with
is a distance function . We call it the discrete metric on and the discrete metric space or space of isolated points .
- Definition, Concept Graph de
Let be a set, then with
is a distance function . We call it the discrete metric on and the discrete metric space or space of isolated points .
- Definition, Concept Graph de
Let be a set , then is a topology on , it is called the discrete toplogy . is called the discrete topological space .
- Definition, Concept Graph de
Let be a set , then is a topology on , it is called the discrete toplogy . is called the discrete topological space .
- Definition, Concept Graph zhs tr de
O familie de multimi se numeste disjuncta doua cate doua sau disjuncte reciproc , daca oricare doua dintre ele sunt disjuncte .
A family of sets is called pairwise disjoint or mutually disjoint , if any two of them are disjoint .
- Definition, Concept Graph de
Let be a set, then we call a function a distance function (or metric ) on , iff for all the following three identities hold:
-
1.
iff ( identity of indiscernibles ),
-
2.
( symmetry ), and
-
3.
( triangle inequality ).
We call a metric space with base set and metric .
-
1.
- Definition, Concept Graph de
A ringoid is a structure , where the operations are distributive , i.e. and for all .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 For integers and , , we say that is a divisor of (or divides or is a multiple of ) and write , if there exists an integer such that .
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 mathml 0 Real addition , subtraction , multiplication , division , and exponentiation are extended to the real numbers , so that they respect limits.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 mathml 0 The division operator computes the quotient of and . On we define .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 mathml 0 Division computes the quotient of and . It is defined as is that โ if it exists, such that .
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 mathml 0 The division operator computes the quotient of and . On we define
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 For integers and , , we say that is a divisor of (or divides or is a multiple of ) and write , if there exists an integer such that .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 1 The divisor function , for a real number or complex number , is defined as the sum of the th powers of the positive divisors of .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 A relation , is called a partial function with domain (write ) and codomain (write ), iff for all there is at most one with .
We write and instead of .
A relation , is called a partial function with domain (write ) and codomain (write ), iff for all there is at most one with .
We write and instead of .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 A double Mersenne number is a Mersenne number of the form
where is a Mersenne prime exponent.
- Definition, Concept Graph de
Eban numbers are defined as numbers whose English names do not contain the letter โeโ (i.e., โeโ is banned). The first numbers are
- Definition, Concept Graph de
A directed graph (also called digraph or oriented graph ) is a pair such that is a set and . We call the vertices (or nodes ) and the edges of .
- Definition, Concept Graph de
A graph is a pair such that is a set and is a subset of the set of pairs from . We call the vertices (or nodes , point s, junctions ) and the edges (or lines , branches , arcs ) of .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The eighth Smarandache constant is defind for a natural number by
where is the Smarandache function .
The sum converges .
- Definition, Concept Graph
The eleventh Smarandache constants are defind by
where is the Smarandache function .
The sum converges for all real numbers .
- Definition, Concept Graph de
We call a prime number elite , if there is an integer index for which all Fermat numbers with are quadratic non-residues of , i.e., there is no solution to the congurence for .
- Definition, Concept Graph de
An emirp (prime spelled backwards) is a prime number that results in a different prime when its digits are reversed.
- Definition, Concept Graph zhs de
The empty set (also written as ) is the set without elements. A set is called empty , iff it , and non-empty otherwise.
- Definition, Concept Graph de
Let be a graph. A maximal connected subgraph of is a component of . The vertex sets of the components of partition the vertex set of . Since connected graphs are non-empty, the empty graph , and only the empty graph has no components.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr de
Languages Arguments Rendering mathml 0 mathml 0 The empty set (also written as ) is the set without elements. A set is called empty , iff it , and non-empty otherwise.
Multimea vida (scrisa si ca este multimea care nu contine niciun element. O multime se numeste vida , daca si numai daca , si nevida altfel.
- Definition, Concept Graph de
An alphabet is a finite set; we call each element a character , and an -tuple of a word (or string ) of over . We will often write a string as or even as . We write the empty word ( empty string ) in with .
- Definition, Concept Graph de
An alphabet is a finite set; we call each element a character , and an -tuple of a word (or string ) of over . We will often write a string as or even as . We write the empty word ( empty string ) in with .
- Definition, Concept Graph de
In a graph a vertex is incident with an edge if . is then said to be an edge at . Two vertices incident with an edge are its endvertices or ends .
- Definition, Concept Graph de
In a graph a vertex is incident with an edge if . is then said to be an edge at . Two vertices incident with an edge are its endvertices or ends .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 We call two mathematical objects and equal , (written ), iff there are no properties that discern them.
- Definition, Concept Graph de
A equidigital number is a natural number that has the same number of digits as the number of digits in its prime factorization (including exponents greater than ). The first numbers are
- Definition, Notations, Concept Graph zhs de
Languages Arguments Rendering mathml 2 Let be a set and be an equivalence relation on , then for any we call we call the set the equivalence class of (under ), and the set the quotient space of (under ).
The mapping is called the projection of to .
- Definition, Concept Graph zhs de
A relation is an equivalence relation on , iff is reflexive , symmetric , and transitive .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The Erdรถs-Borwein constant is the sum of the reciprocals of the Mersenne numbers .
- Definition, Concept Graph de
The Euclid Mullin sequence is an infinite sequence of distinct prime numbers , in which each element is the least prime factor of one plus the product of all earlier elements.
The first elements are
- Definition, Concept Graph de
The Euclid-Mullin sequence is an infinite sequence of distinct prime numbers , in which each element is the largest prime factor of one plus the product of all earlier elements.
The first elements are
- Definition, Concept Graph de
Let be an integral domain . A Euclidean function on is a function satisfying the following fundamental division-with-remainder property:
If with , then there are and in such that either or .
A Euclidean domain is an integral domain which can be endowed with at least one Euclidean function.
- Definition, Concept Graph de
Let be an integral domain . A Euclidean function on is a function satisfying the following fundamental division-with-remainder property:
If with , then there are and in such that either or .
A Euclidean domain is an integral domain which can be endowed with at least one Euclidean function.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 The -dimensional Euclidean space is the -fold Cartesian product over the real numbers. It is sometimes denoted by to emphasize its Euclidean nature.
- Definition, Concept Graph zhs
Euclidean space of dimension is the topological space which is the Cartesian product of copies of the space of real numbers equipped with the product topology .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The Euler numbers are a sequence of integers defined by the following Taylor series expansion:
The odd-indexed Euler numbers are all zero.
- Definition, Concept Graph de
A Greco-Latin square or Euler square of order over two sets and , each consisting of symbols, is an arrangement of cells, each cell containing an ordered pair , where is in and is in , such that every row and every column contains each element of and each element of exactly once, and that no two cells contain the same ordered pair.
- Definition, Concept Graph
The Euler-Mascheroni constant (also called Eulerโs constant ) is a mathematical constant. It is defined as the limiting difference between the harmonic series and the natural logarithm :
or equivalently
- Definition, Concept Graph
The Euler-Mascheroni constant (also called Eulerโs constant ) is a mathematical constant. It is defined as the limiting difference between the harmonic series and the natural logarithm :
or equivalently
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The number , sometimes called Eulerโs constant (also known as Napierโs constant ) is an important mathematical constant.
- Definition, Concept Graph de
If is differentiable on , then the derivative function of (with respect to ) is defined as
The dependency of on is left implicit in this notation ( Lagrangeโs notation ). In Leibnizโs notation we write the derivative of with respect to as and the derivative of at as or . In Eulerโs notation , this is written as and in Newtonโs notation as .
- Definition, Concept Graph
Eulerโs totient or phi function is an arithmetic function that counts the totatives of , that is, the positive integer less than or equal to that are relatively prime to .
Thus if is a positive integer, then is the number of integers in the range for which .
- Definition, Concept Graph zhs de
We call a permutation on a finite totally ordered set odd / even , if is; the property of being odd or even is called the parity of .
- Definition, Concept Graph
An abundant number or excessive number is a natural number for which the sum of its proper divisors is greater than the number itself.
- Definition, Concept Graph de
The exponentiation operation raises a number (the base ) to the power (the exponent ). We define it as
- Definition, Concept Graph de
Exponentiation raises a number (the base ) to the power (the exponent ). We define
- Definition, Concept Graph de
Exponentiation aises a natural number (the base ) to the -th power ( is called the exponent ). We define and .
- Definition, Concept Graph de
Exponentiation aises a number (the base ) to the -th power ( is called the exponent ).
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 2 Real addition , subtraction , multiplication , division , and exponentiation are extended to the real numbers , so that they respect limits.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 The exponentiation operation raises a number (the base ) to the power (the exponent ). We define it as
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 Exponentiation raises a number (the base ) to the power (the exponent ). We define
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 Exponentiation aises a natural number (the base ) to the -th power ( is called the exponent ). We define and .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 Exponentiation aises a number (the base ) to the -th power ( is called the exponent ).
- Definition, Concept Graph zhs de
Let be a set , then a Kuratowski closure operator (or simply closure operator ) is an assignment with the following properties:
-
1.
( preservation of nullary union
-
2.
for every subset ( extensitivity )
-
3.
( preservation of binary union )
-
4.
for every subset ( idempotence )
Without the idempotence axiom, we speak of a preclosure operator .
We call a set closed , iff .
-
1.
- Definition, Concept Graph de
An extravagant number is a natural number that has fewer digits than the number of digits in its prime factorization (including exponents greater than ).
The first numbers are
- Definition, Concept Graph de
We call a topological vector space an F-space , iff its topology is induced by a complete , translation invariant metric .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 The factorial of a non-negative integer , denoted by , is the product of all positive integers less than or equal to .
- Definition, Concept Graph de
A factorion is a natural number that equals the sum of the factorial of its decimal digits .
For example
- Definition, Concept Graph de
The Farey sequence of order is the sequence of completely reduced fractions between and which, when in lowest terms, have denominators less than or equal to , arranged in order of increasing size.
Each Farey sequence starts with the value , denoted by the fraction , and ends with the value , denoted by the fraction (although some authors omit these terms).
The Farey sequences of orders to are:
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 A Fermat number is a natural number of the form .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 A Fermat prime is a prime number of the form
- Definition, Concept Graph de
If a composite number is coprime to an integer and divides , then is called a Fermat pseudoprime to base .
- Definition, Concept Graph de
The Feynman point is a sequence of six 9s that begins at the 762nd decimal place of the decimal representation of .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The Fibonacci numbers or Fibonacci series or Fibonacci sequence are the numbers in the following integer sequence :
The first two numbers in the Fibonacci sequence are and , and each subsequent number is the sum of the previous two.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The Fibonacci polynomials are defined by the recurrence relation
The first few Fibonacci polynomials are:
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The Fibonacci numbers or Fibonacci series or Fibonacci sequence are the numbers in the following integer sequence :
The first two numbers in the Fibonacci sequence are and , and each subsequent number is the sum of the previous two.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The Fibonacci numbers or Fibonacci series or Fibonacci sequence are the numbers in the following integer sequence :
The first two numbers in the Fibonacci sequence are and , and each subsequent number is the sum of the previous two.
- Definition, Concept Graph de
A prime is called a Wall-Sun-Sun prime or Fibonacci-Wieferich prime if divides the Fibonacci number , where the Legendre symbol is
A prime number is a Wall-Sun-Sun prime if , where is the -th Lucas number .
- Definition, Concept Graph de
A field is a ring where all elements except zero have multiplicative inverses.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The fifteenth Smarandache constant is defind by
where is the Smarandache function .
The sum converges .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The fifth Smarandache constant is defind by
where is the Smarandache function .
The sum converges .
- Definition, Concept Graph zhs de
We say that a set is finite and has cardinality (or size ) , iff there is a bijective function .
The cardinality of a set is also written as , , , or .
- Definition, Concept Graph de
The first Chebyshev function or is given by
with the sum extending over all primes that are less than or equal to .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 We call the first projection and the second projection .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The Skewes number (or first Skewes number ) is the number above which must fail assuming that the Riemann hypothesis is true, where is the prime counting function and is the logarithmic integral .
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 0 The first Smarandache constant is defind by
where is the Smarandache function .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 mathml 0 The monster group or (also known as the FischerโGriess monster , or the Friendly Giant ) is a simple group (one of the 26 sporadic groups) of finite order:
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 The floor of a real number is the largest integer that is smaller or equal to . The floor function is also called the greatest integer function .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The fourteenth Smarandache constant is defind by
where is the Smarandache function .
The sum converges for all real numbers .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The fourth Smarandache constant is defind by
where is the Smarandache function .
The sum converges for all real numbers .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The Franel numbers are the numbers
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The Franel numbers are a sequence of integers defined by the recurrence equation
where and .
- Definition, Concept Graph de
A group is called free if there is a subset of such that every element of can be written in one and only one way as a product of finite ly many elements of and their inverses (disregarding trivial variations such as ). We call a generating set of .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 mathml 0 The monster group or (also known as the FischerโGriess monster , or the Friendly Giant ) is a simple group (one of the 26 sporadic groups) of finite order:
- Definition, Concept Graph de
Friendly numbers are two or more natural number with a common abundancy , the ratio between the sum of divisors of a number and the number itself.
- Definition, Concept Graph de
A frugal number is a natural number that has more digits than the number of digits in its prime factorization (including exponents greater than ).
The first numbers are
- Definition, Concept Graph zhs
If we do not want to specify whether a partial function is total , then we simply speak of a function .
If we do not want to specify whether a partial function is total , then we simply speak of a function .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs
Languages Arguments Rendering mathml 2 Given sets and we will call the set () of all (partial) functions from to the (partial) function space from to .
Given sets and we will call the set () of all (partial) functions from to the (partial) function space from to .
- Definition, Concept Graph de
The Gelfond-Schneider constant or Hilbert number is the following real number :
- Definition, Concept Graph de
The general harmonic series are series of the form
where and are real numbers .
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 2 The general linear group of degree over a field is the set of invertible matrices , with the operations of ordinary matrix multiplication and matrix inversion .
- Definition, Concept Graph de
A generalized Cullen number is a number of the form
where .
If a prime can be written in this form, it is then called a generalized Cullen prime .
- Definition, Concept Graph de
A generalized Cullen number is a number of the form
where .
If a prime can be written in this form, it is then called a generalized Cullen prime .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 3 mathml 0 The generalized taxicab number is the smallest number which can be expressed as the sum of th positive powers in different ways.
For example:
- Definition, Concept Graph de
A generalized Woodall number is a number of the form
where .
If a prime can be written in this form, it is then called a generalized Woodall prime .
- Definition, Concept Graph de
A generalized Woodall number is a number of the form
where .
If a prime can be written in this form, it is then called a generalized Woodall prime .
- Definition, Concept Graph de
Let be a ring . Any intersection of subrings of is again a subring of . Therefore, if is any subset of , the intersection of all subrings of containing is a subring of . S is the smallest subring of containing . is said to be the subring generated by . If , we may say that the ring is generated by .
- Definition, Concept Graph
A group generated by a subset (which is then called a generating set of ), iff every element of can be expressed as the combination (under ) of finitely many elements of and their inverses .
If is a subset of a group , then , the subgroup generated by , is the subgroup of all elements of that can be expressed as the finite product of elements in and their inverses . If , then we say generates ; and the elements in are called generators or group generators .
- Definition, Concept Graph
A group generated by a subset (which is then called a generating set of ), iff every element of can be expressed as the combination (under ) of finitely many elements of and their inverses .
If is a subset of a group , then , the subgroup generated by , is the subgroup of all elements of that can be expressed as the finite product of elements in and their inverses . If , then we say generates ; and the elements in are called generators or group generators .
- Definition, Concept Graph de
A group is called free if there is a subset of such that every element of can be written in one and only one way as a product of finite ly many elements of and their inverses (disregarding trivial variations such as ). We call a generating set of .
- Definition, Concept Graph
A group generated by a subset (which is then called a generating set of ), iff every element of can be expressed as the combination (under ) of finitely many elements of and their inverses .
If is a subset of a group , then , the subgroup generated by , is the subgroup of all elements of that can be expressed as the finite product of elements in and their inverses . If , then we say generates ; and the elements in are called generators or group generators .
- Definition, Concept Graph
A group generated by a subset (which is then called a generating set of ), iff every element of can be expressed as the combination (under ) of finitely many elements of and their inverses .
If is a subset of a group , then , the subgroup generated by , is the subgroup of all elements of that can be expressed as the finite product of elements in and their inverses . If , then we say generates ; and the elements in are called generators or group generators .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 For a graph , the minimum length of a cycle contained in is the girth of . The maximum length of a cycle contained in is the circumference of . For a graph which does not contain a cycle the girth is set to , its circumference is set to zero.
- Definition, Concept Graph de
A Giuga number is a composite number such that for each of its distinct prime factors we have or equivalently such that for each of its distinct prime factors we have .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The golden ratio is a real number defined by
We have and .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The Golomb-Dickman constant is defined as
We have
- Definition, Concept Graph de
A binomial coefficient with is called good if its least prime factor () satisfies
- Definition, Concept Graph de
A good prime is a prime number whose square is greater than the product of any two primes at the same number of positions before and after it in the sequence of primes . A good prime satisfies the inequality
for all .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 A googol is the large number .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 A googolplex is the number
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 A googolplexplex is the number
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 A googolplexplexplex is the number
- Definition, Concept Graph de
A graph is a pair such that is a set and is a subset of the set of pairs from . We call the vertices (or nodes , point s, junctions ) and the edges (or lines , branches , arcs ) of .
- Definition, Concept Graph de
The greatest common divisor (gcd), also known as the greatest common factor (gcf), or highest common factor (hcf), of two or more integers (at least one of which is not zero), is the largest positive integer that divides the numbers without a remainder.
- Definition, Concept Graph de
The greatest common divisor (gcd), also known as the greatest common factor (gcf), or highest common factor (hcf), of two or more integers (at least one of which is not zero), is the largest positive integer that divides the numbers without a remainder.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 The floor of a real number is the largest integer that is smaller or equal to . The floor function is also called the greatest integer function .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Let be an ordered set and , then we call the smallest upper bound (largest lower bound ) of the supremum or least upper bound ( infimum or greatest lower bound ) of (if it exists).
If is an expression and a condition (in a variable ), we write for and call it the supremum for over . Analogously, we write for and call it the infimum for over
- Definition, Concept Graph de
A Greco-Latin square or Euler square of order over two sets and , each consisting of symbols, is an arrangement of cells, each cell containing an ordered pair , where is in and is in , such that every row and every column contains each element of and each element of exactly once, and that no two cells contain the same ordered pair.
- Definition, Concept Graph de
The greedy algorithm for Egyptian fractions is a algorithm for transforming rational numbers into Egyptian fractions , first described by Fibonacci.
Fibonacciโs algorithm expands the fraction by repeatedly performing the replacement
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 A Gregory number is a real number of the form:
where is any rational number greater or equal to .
- Definition, Concept Graph de
is called a group , if is a monoid , and for every there is a (called the inverse element or simply the inverse of ), such that . We call the function that maps elements of to their inverses the inverse function , correspondingly we write the inverse of as .
- Definition, Concept Graph
A group generated by a subset (which is then called a generating set of ), iff every element of can be expressed as the combination (under ) of finitely many elements of and their inverses .
If is a subset of a group , then , the subgroup generated by , is the subgroup of all elements of that can be expressed as the finite product of elements in and their inverses . If , then we say generates ; and the elements in are called generators or group generators .
- Definition, Concept Graph de
is called a magma (also groupoid ), if is a set and is a binary function . is called the base set of and its operation .
- Definition, Concept Graph de
The Hardy-Ramanujan number is the smallest number expressible as the sum of two cubes in two different ways.
- Definition, Concept Graph de
A harmonic divisor number , or Ore number , is a positive integer whose divisors have a harmonic mean that is an integer.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The -th harmonic number is the sum of the reciprocals of the first natural numbers :
- Definition, Concept Graph de
A Harshad number or Niven number in a given number base is an integer that is divisible by the sum of its digits when written in that base.
- Definition, Concept Graph
A Nivenmorphic number or Harshadmorphic number for a given number base is an integer such that there exists some Harshad number whose digit sum is , and , written in that base, terminates written in the same base.
For example, is a Nivenmorphic number because is a Harshad number that digit sum is and the last digits of are too.
- Definition, Concept Graph de
We say that a topological vector space has the Heine-Borel property , iff every closed and bounded subset of its base set is compact .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 A pronic number , oblong number , rectangular number or heteromecic number , is a number which is the product of two consecutive natural numbers.
- Definition, Concept Graph de
A heterosquare of order is an arrangement of the integers to in a square, such that the rows, columns, and diagonals all sum to different values.
- Definition, Concept Graph de
The greatest common divisor (gcd), also known as the greatest common factor (gcf), or highest common factor (hcf), of two or more integers (at least one of which is not zero), is the largest positive integer that divides the numbers without a remainder.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 A highly composite number (HCN) is a positive integer with more divisors than any smaller positive integer .
- Definition, Concept Graph de
The Gelfond-Schneider constant or Hilbert number is the following real number :
- Definition, Concept Graph de
A Hilbert prime is a Hilbert number that is not divisible by a smaller Hilbert number (other than ).
- Definition, Concept Graph zhs de
A function where and is are topological spaces is called a homeomorphism if it is bijective and continuous , and is continuous as well.
- Definition, Concept Graph de
Two topological spaces are called homoemorphic , iff there is a homeomorphism between them.
- Definition, Concept Graph
A polynomial is called homogeneous , iff all its monomials have all the same degree .
- Definition, Concept Graph zhs
Two continuous functions and from a topological space to a topological space are homotopic if there is a continuous function from the product of the space with to such that if then and
- Definition, Concept Graph zhs
Two topological spaces and are called homotopy equivalent if there are continuous maps and such that is homotopic to the identity function on , and is homotopic to the identity map on .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The Hurwitz zeta function is formally defined for complex arguments with and with by
This series is absolutely convergent and can be extended by analytic continuation for all .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 mathml 0 The hyperbolic cosine integral or is defined by:
- Definition, Concept Graph de
Iban numbers are defined as numbers whose English names do not contain the letter โiโ (i.e., โiโ is banned). The numbers are
- Definition, Concept Graph zhs de
Let be a set , then a Kuratowski closure operator (or simply closure operator ) is an assignment with the following properties:
-
1.
( preservation of nullary union
-
2.
for every subset ( extensitivity )
-
3.
( preservation of binary union )
-
4.
for every subset ( idempotence )
Without the idempotence axiom, we speak of a preclosure operator .
We call a set closed , iff .
-
1.
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 0 is called a loop , if is a quasigroup , and there is an called unit (or identity ), such that and .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs de
Languages Arguments Rendering mathml 1 For a set , the identity function on maps any to itself.
For a set , the identity function on maps any to itself.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 We call the matrix the identity matrix of size .
- Definition, Concept Graph de
Let be a set, then we call a function a distance function (or metric ) on , iff for all the following three identities hold:
-
1.
iff ( identity of indiscernibles ),
-
2.
( symmetry ), and
-
3.
( triangle inequality ).
We call a metric space with base set and metric .
-
1.
- Definition, Concept Graph de
A positive integer is an idoneal number if and only if it cannot be written as for distinct positive integer , , and .
- Definition, Concept Graph
We call a triple an incidence structure (or incidence geometry ), with points , lines , and incidence realation (we say is on , if ), iff
-
โข
There are at least two points in .
-
โข
For any two points , there is exactly one line such that and .
-
โข
For every line there are at least two points on .
-
โข
For every line there is at least one point with .
-
โข
- Definition, Concept Graph
We call a triple an incidence structure (or incidence geometry ), with points , lines , and incidence realation (we say is on , if ), iff
-
โข
There are at least two points in .
-
โข
For any two points , there is exactly one line such that and .
-
โข
For every line there are at least two points on .
-
โข
For every line there is at least one point with .
-
โข
- Definition, Concept Graph
We call a triple an incidence structure (or incidence geometry ), with points , lines , and incidence realation (we say is on , if ), iff
-
โข
There are at least two points in .
-
โข
For any two points , there is exactly one line such that and .
-
โข
For every line there are at least two points on .
-
โข
For every line there is at least one point with .
-
โข
- Definition, Concept Graph
In a graph a vertex is incident with an edge if . is then said to be an edge at . Two vertices incident with an edge are its endvertices or ends .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Let be a directed graph and a vertex in , then we define
-
โข
indegree of as
-
โข
outdegree of as
-
โข
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The independence number of a graph is the cardinality of its largest independent set.
- Definition, Concept Graph de
Pairwise non- adjacent vertices or edges of a graph are called independent . A set of vertices or of edges is independent if no two of its elements are adjacent . Independent sets of vertices are also called stable sets .
- Definition, Concept Graph
If in a graph which contains a cycle , an edge of joins two vertices of but is not itself an edge of the cycle, then this edge is a chord of the cycle . Thus a cycle is chordless iff it is an induced cycle in .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 Let be a metric space and a sequence with for all , then the
-
โข
limit superior (also called supremum limit , superior limit , upper limit , or outer limit ) (also written as ) is defined as
-
โข
limit inferior (also called infimum limit , inferior limit , lower limit , or inner limit ) (also written as ) is defined as
-
โข
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 3 Let be an ordered set and , then we call the smallest upper bound (largest lower bound ) of the supremum or least upper bound ( infimum or greatest lower bound ) of (if it exists).
If is an expression and a condition (in a variable ), we write for and call it the supremum for over . Analogously, we write for and call it the infimum for over
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Let be an ordered set and , then we call the smallest upper bound (largest lower bound ) of the supremum or least upper bound ( infimum or greatest lower bound ) of (if it exists).
If is an expression and a condition (in a variable ), we write for and call it the supremum for over . Analogously, we write for and call it the infimum for over
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 Let be a metric space and a sequence with for all , then the
-
โข
limit superior (also called supremum limit , superior limit , upper limit , or outer limit ) (also written as ) is defined as
-
โข
limit inferior (also called infimum limit , inferior limit , lower limit , or inner limit ) (also written as ) is defined as
-
โข
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 3 Let be a sequence with or . the (formal) infinite sum is defined as the limit of the sequence of partial sums , if it exists.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 Infinity (written ) is an abstract concept describing something without any limit. In mathematics is is usually treated like a number.
- Definition, Concept Graph
A sequence , , is a function whose domain is a countable , totally ordered set (e.g. , then we often write ). If is infinite , we call any sequence on an inifinite sequence , otherwise, the cardinality of is called the length of .
Sequences are writen as
-
โข
for a concrete finite sequence
-
โข
for a finite sequence with ellipsis
-
โข
and for a sequence of upper/lower-indexed variables of length
-
โข
for an infinite sequence
-
โข
and for a sequence of upper/lower-indexed variables of length
Given a sequence , we can also select the th element via .
-
โข
- Definition, Concept Graph de
Let be a directed graph , then we call a node
-
โข
initial (or source ) in , iff there is no such that .
-
โข
terminal (or sink ) in , iff there is no such that .
-
โข
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 Let be a metric space and a sequence with for all , then the
-
โข
limit superior (also called supremum limit , superior limit , upper limit , or outer limit ) (also written as ) is defined as
-
โข
limit inferior (also called infimum limit , inferior limit , lower limit , or inner limit ) (also written as ) is defined as
-
โข
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 Integer division computes the integer quotient (or modulus ) of two integers . is defined as that , such that for some . The number is called the remainder and is written as .
- Definition, Concept Graph de
Integer division computes the integer quotient (or modulus ) of two natural numbers and . is defined as that , such that for some . The number is called the remainder and is written as .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 We define the integer interval as a subset of consecutive integers:
- Definition, Concept Graph de
Integer division computes the integer quotient (or modulus ) of two integers . is defined as that , such that for some . The number is called the remainder and is written as .
- Definition, Concept Graph de
Integer division computes the integer quotient (or modulus ) of two natural numbers and . is defined as that , such that for some . The number is called the remainder and is written as .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The logarithmic integral or integral logarithm is defined for all positive real numbers by
The function has a singularity at , and the integral for has to be interpreted as a Cauchy principal value:
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The logarithmic integral or integral logarithm is defined for all positive real numbers by
- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Let and be sets, then the intersection of and is .
- Definition, Concept Graph de
Let be a an ordered ring . Then we define four kinds of intervals as subsets of .
-
โข
-
โข
-
โข
-
โข
Here is the strict partial order corresponding to .
-
โข
- Definition, Concept Graph de
We define four kinds of intervals as subsets of the real numbers
-
โข
-
โข
-
โข
-
โข
-
โข
- Definition, Notations, Concept Graph zhs de
Languages Arguments Rendering mathml 1 If is injective , then the converse relation is a partial function , we call it the inverse function of . If is bijective total function, then is a total function .
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 is called a group , if is a monoid , and for every there is a (called the inverse element or simply the inverse of ), such that . We call the function that maps elements of to their inverses the inverse function , correspondingly we write the inverse of as .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 We say that an matrix is invertible , iff there is an matrix , such that . If this is the case, then we call the inverse matrix of and denote it with . The corresponding (partial) operation on matrices is called matrix inversion
- Definition, Concept Graph zhs de
Let be a finite totally ordered set and be a permutation on . We call a pair an inversion , iff , but . The number of inversions of a permutation is called the inversion number .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Let be a finite totally ordered set and be a permutation on . We call a pair an inversion , iff , but . The number of inversions of a permutation is called the inversion number .
- Definition, Concept Graph de
We say that an matrix is invertible , iff there is an matrix , such that . If this is the case, then we call the inverse matrix of and denote it with . The corresponding (partial) operation on matrices is called matrix inversion
- Definition, Concept Graph
The degree (or valency ) of a vertex is the number of edges at , this equal to the number of neighbours of . A vertex of degree is called isolated vertex . The number is the minimum degree of , the number is the maximum degree of . The number is the average degree of .
- Definition, Concept Graph de
The Jacobi symbol is a function of an odd integer and an integer defined as follows:
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The Jacobsthal numbers are defined by the recurrence relation
The definition in closed form:
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The Jacobsthal-Lucas numbers are defined by the recurrence relation
The definition in closed form:
- Definition, Concept Graph de
A graph is a pair such that is a set and is a subset of the set of pairs from . We call the vertices (or nodes , point s, junctions ) and the edges (or lines , branches , arcs ) of .
- Definition, Concept Graph de
A Keith cluster is a set of Keith numbers such that one is a multiple of another.
For example:
- Definition, Concept Graph
The Kempner series are subharmonic series formed by omitting all terms from the harmonic series whose denominator expressed in base contains a digit (or a digit -sequence like ):
For example
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Let be an alphabet, then we define the sets of nonempty words ( nonempty strings ) and of words ( strings ).
The operation of passing from an alphabet to is called Kleene closure , Kleene operation , or Kleene star . The operation is called Kleene plus .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Let be an alphabet, then we define the sets of nonempty words ( nonempty strings ) and of words ( strings ).
The operation of passing from an alphabet to is called Kleene closure , Kleene operation , or Kleene star . The operation is called Kleene plus .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Let be an alphabet, then we define the sets of nonempty words ( nonempty strings ) and of words ( strings ).
The operation of passing from an alphabet to is called Kleene closure , Kleene operation , or Kleene star . The operation is called Kleene plus .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Let be an alphabet, then we define the sets of nonempty words ( nonempty strings ) and of words ( strings ).
The operation of passing from an alphabet to is called Kleene closure , Kleene operation , or Kleene star . The operation is called Kleene plus .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 A Knoedel number for a given natural number is a composite number with the property that each coprime to satisfies . The set of all Knoedel numbers for is denoted by .
- Definition, Concept Graph
The Kronecker delta is a function of two integers . The function is if the variables are equal, and otherwise:
- Definition, Notations, Concept Graph zhs de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Let be a set , then a Kuratowski closure operator (or simply closure operator ) is an assignment with the following properties:
-
1.
( preservation of nullary union
-
2.
for every subset ( extensitivity )
-
3.
( preservation of binary union )
-
4.
for every subset ( idempotence )
Without the idempotence axiom, we speak of a preclosure operator .
We call a set closed , iff .
-
1.
- Definition, Concept Graph de
Let and be sets, , and , then we call the set the Kuratowski pair of and .
- Definition, Concept Graph de
If is differentiable on , then the derivative function of (with respect to ) is defined as
The dependency of on is left implicit in this notation ( Lagrangeโs notation ). In Leibnizโs notation we write the derivative of with respect to as and the derivative of at as or . In Eulerโs notation , this is written as and in Newtonโs notation as .
- Definition, Concept Graph de
Let the number of positive integers less than which are the sum of two squares .
The Landau-Ramanujan constant is defind by
It numeric value is approximately .
- Definition, Concept Graph de
A Latin square is an array filled with different symbols, each occurring exactly once in each row and exactly once in each column.
- Definition, Concept Graph de
The central polygonal numbers or lazy catererโs sequence describes the maximum number of pieces of a circle (or a plane) that can be made with a given number of straight cuts.
- Definition, Concept Graph
Let be a polynomial , then , then is called the leading coefficient of if it is non-zero.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 The least common multiple (lcm) (also called the lowest common multiple or smallest common multiple ) of two or more integers is the smallest positive integer that is divisible by all given integers .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 The ceiling of a real number is the smallest integer that is greater or equal to . The ceiling function is also called the least integer function .
- Definition, Concept Graph
A prime factor of a natural number is a least prime factor if all prime factors of are equal or greater than it.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Let be an ordered set and , then we call the smallest upper bound (largest lower bound ) of the supremum or least upper bound ( infimum or greatest lower bound ) of (if it exists).
If is an expression and a condition (in a variable ), we write for and call it the supremum for over . Analogously, we write for and call it the infimum for over
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 Given an element of the group and one of its subgroups , we define the left coset (respectively the right coset ) of with as (respectively ).
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 A quasigroup is a such that for all there are such that and .
We write and call the left division and and call the right division .
- Definition, Concept Graph de
Two non- zero elements and of a ring are called a left zero divisor and a right zero divisor respectively, if . An element that is a left or a right zero divisor is simply called a zero divisor .
- Definition, Concept Graph de
A left-truncatable prime is a prime number which, in a given base, contains no , and if the leading (โleftโ) digit is successively removed, then all resulting numbers are prime.
For example:
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 mathml 2 Let with and .
Then the leftsided limit of at (also: the limit of as approaches from below) is defined to be the , sucht that for every there is a such that whenever . The leftsided limit is written as , , or .
Analogously, the rightsided limit at (also: the limit of as approaches from above) is the , such that for every there is a such that whenever . The rightsided limit is written as , , or .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 The Legendre symbol is a function of an odd prime number and an integer defined as follows:
- Definition, Concept Graph de
If is differentiable on , then the derivative function of (with respect to ) is defined as
The dependency of on is left implicit in this notation ( Lagrangeโs notation ). In Leibnizโs notation we write the derivative of with respect to as and the derivative of at as or . In Eulerโs notation , this is written as and in Newtonโs notation as .
- Definition, Concept Graph
A sequence , , is a function whose domain is a countable , totally ordered set (e.g. , then we often write ). If is infinite , we call any sequence on an inifinite sequence , otherwise, the cardinality of is called the length of .
Sequences are writen as
-
โข
for a concrete finite sequence
-
โข
for a finite sequence with ellipsis
-
โข
and for a sequence of upper/lower-indexed variables of length
-
โข
for an infinite sequence
-
โข
and for a sequence of upper/lower-indexed variables of length
Given a sequence , we can also select the th element via .
-
โข
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 mathml 0 mathml 0 We define the order relation ( is less than also written as ) by
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 Let be an alphabet , a strict partial order on , and . Then we define a relation on by setting iff or there are strings and , sucht that , , and . We call the lexical order induced by on .
- Definition, Concept Graph de
A Leyland number is a number of the form
where and are integers greater than .
The first Leyland numbers are
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 Let be a metric space and a sequence with for all , then the
-
โข
limit superior (also called supremum limit , superior limit , upper limit , or outer limit ) (also written as ) is defined as
-
โข
limit inferior (also called infimum limit , inferior limit , lower limit , or inner limit ) (also written as ) is defined as
-
โข
- Definition, Concept Graph zhs de
Let be a subset of a topological space . A point is a limit point of if every neighborhood of contains at least one with .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 Let be a metric space and a sequence with for all , then the
-
โข
limit superior (also called supremum limit , superior limit , upper limit , or outer limit ) (also written as ) is defined as
-
โข
limit inferior (also called infimum limit , inferior limit , lower limit , or inner limit ) (also written as ) is defined as
-
โข
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 For a graph we call the graph on , which has as its vertices the edges of and in which are adjacent as vertices in if and only if they are adjacent as edges in , the line graph of .
- Definition, Concept Graph de
We call a partial ordering a linear order (or simple order or total ordering ), iff or for all .
- Definition, Concept Graph zhs de
We call a structure of a set and a total ordering a linearly or totally ordered set
- Definition, Concept Graph de
Let be a vector space, then we call a set linearly independent (else linearly dependent ), iff no is a linear combination of finitely many vectors in .
- Definition, Concept Graph de
Let be a vector space, then we call a set linearly independent (else linearly dependent ), iff no is a linear combination of finitely many vectors in .
- Definition, Concept Graph
We call a triple an incidence structure (or incidence geometry ), with points , lines , and incidence realation (we say is on , if ), iff
-
โข
There are at least two points in .
-
โข
For any two points , there is exactly one line such that and .
-
โข
For every line there are at least two points on .
-
โข
For every line there is at least one point with .
-
โข
- Definition, Concept Graph de
A graph is a pair such that is a set and is a subset of the set of pairs from . We call the vertices (or nodes , point s, junctions ) and the edges (or lines , branches , arcs ) of .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The Liouville constant is a Liouville number defind by
.
- Definition, Concept Graph de
A Liouville number is an irrational number with the property that, for every positive integer , there exist integers and with and such that
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 The Lobb number counts the number of ways that open parentheses and close parentheses can be arranged to form the start of a valid sequence of balanced parentheses.
where and are two integers with .
- Definition, Concept Graph zhs
A function where and is are topological spaces is called a localhomeomporhism local homeomorphism, iff for all , there is an open set containing , such that the image is open in and the restriction is a homeomorphism .
- Definition, Concept Graph de
A topological vector space is called locally compact , iff its zero vector has a neighborhood whose closure is compact .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 1 mathml 0 The logarithm of a number is to the base is that such that . The logarithm function the inverse function to the exponential function.
- Definition, Concept Graph de
The logarithm of a number is to the base is that such that . The logarithm function the inverse function to the exponential function.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The logarithmic integral or integral logarithm is defined for all positive real numbers by
The function has a singularity at , and the integral for has to be interpreted as a Cauchy principal value:
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The logarithmic integral or integral logarithm is defined for all positive real numbers by
- Definition, Concept Graph de
is called a loop , if is a quasigroup , and there is an called unit (or identity ), such that and .
- Definition, Concept Graph de
Let be a proset and , then we call an upper bound of , iff for all and an lower bound , iff for all .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 Let be a metric space and a sequence with for all , then the
-
โข
limit superior (also called supremum limit , superior limit , upper limit , or outer limit ) (also written as ) is defined as
-
โข
limit inferior (also called infimum limit , inferior limit , lower limit , or inner limit ) (also written as ) is defined as
-
โข
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 The least common multiple (lcm) (also called the lowest common multiple or smallest common multiple ) of two or more integers is the smallest positive integer that is divisible by all given integers .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The Lucas numbers are defined as follows:
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The Lucas polynomials are defined by the recurrence relation
The first few Lucas polynomials are:
- Definition, Concept Graph de
A lucky number is a natural number in a set which is generated by a โsieveโ similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
Begin with a list of integers starting with :
Every second number (all even numbers) is eliminated,leaving only the odd integers:
The second term in this sequence is . Every third number which remains in the list is eliminated:
The next surviving number is now ,so every seventh number that remains is eliminated:
When this procedure has been carried out completely,the survivors are the lucky numbers :
- Definition, Concept Graph de
A lucky number is a natural number in a set which is generated by a โsieveโ similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
Begin with a list of integers starting with :
Every second number (all even numbers) is eliminated,leaving only the odd integers:
The second term in this sequence is . Every third number which remains in the list is eliminated:
The next surviving number is now ,so every seventh number that remains is eliminated:
When this procedure has been carried out completely,the survivors are the lucky numbers :
- Definition, Concept Graph de
The lucky numbers of Euler are positive integers such that is a prime number for .
- Definition, Concept Graph de
A Lychrel number is a natural number that cannot form a palindromic number through the iterative process of repeatedly reversing its digits and adding the resulting numbers.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The magic constant or magic sum is the sum of every row, column and diagonal of a magic square . Every normal magic square of order has a unique constant :
- Definition, Concept Graph de
A magic series of order is a set of distinct positive integers less or equal to adding up to the magic constant of the magic square of order .
- Definition, Concept Graph de
A magic square is an arrangement of numbers (usually integers ) in a square grid, where the numbers in each row, and in each column, and the numbers in the forward and backward main diagonals, all add up to the same number.
- Definition, Concept Graph de
The magic constant or magic sum is the sum of every row, column and diagonal of a magic square . Every normal magic square of order has a unique constant :
- Definition, Concept Graph de
is called a magma (also groupoid ), if is a set and is a binary function . is called the base set of and its operation .
- Definition, Concept Graph de
In scientific notation all numbers are written in the form of , ( times 10 raised to the power of ), is called the significand or mantissa .
is called normalized , iff
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 Matrix addition is defined pointwise: Given two matrices and , the matrix sum is defined as .
- Definition, Concept Graph de
We say that an matrix is invertible , iff there is an matrix , such that . If this is the case, then we call the inverse matrix of and denote it with . The corresponding (partial) operation on matrices is called matrix inversion
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 mathml 0 mathml 0 Given matrices and , the matrix product is defined via matrix multiplication as .
- Definition, Concept Graph de
Given matrices and , the matrix product is defined via matrix multiplication as .
- Definition, Concept Graph de
Matrix addition is defined pointwise: Given two matrices and , the matrix sum is defined as .
- Definition, Concept Graph de
Let be a graph. A maximal connected subgraph of is a component of . The vertex sets of the components of partition the vertex set of . Since connected graphs are non-empty, the empty graph , and only the empty graph has no components.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The degree (or valency ) of a vertex is the number of edges at , this equal to the number of neighbours of . A vertex of degree is called isolated vertex . The number is the minimum degree of , the number is the maximum degree of . The number is the average degree of .
- Definition, Concept Graph de
For a graph , the minimum length of a cycle contained in is the girth of . The maximum length of a cycle contained in is the circumference of . For a graph which does not contain a cycle the girth is set to , its circumference is set to zero.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 3 Let be a real-or complex-valued function that is smooth at a limit point of the domain of , then we call the infinite series given by
the Taylor series for around . If , then the series is known as the Mclaurin series .
- Definition, Concept Graph de
A Meertens number is an integer that is its own Gรถdel number. Only one Meertens number is known:
- Definition, Concept Graph de
The Mercator series or Newton-Mercator series is the Taylor series for the natural logarithm :
The series converges whenever .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 A Mersenne number is a natural number of the form
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 A Mersenne prime is a prime number of the form
- Definition, Concept Graph
Mertens function is defined for all positive integers as
where is the Mรถbius function . The function is named in honour of Franz Mertens.
The above definition can be extended to real numbers as follows:
- Definition, Concept Graph de
Let be a set, then we call a function a distance function (or metric ) on , iff for all the following three identities hold:
-
1.
iff ( identity of indiscernibles ),
-
2.
( symmetry ), and
-
3.
( triangle inequality ).
We call a metric space with base set and metric .
-
1.
- Definition, Concept Graph de
Let be a normed vector space , then is a distance function . It is called the metric induced by
- Definition, Concept Graph de
Let be a set, then we call a function a distance function (or metric ) on , iff for all the following three identities hold:
-
1.
iff ( identity of indiscernibles ),
-
2.
( symmetry ), and
-
3.
( triangle inequality ).
We call a metric space with base set and metric .
-
1.
- Definition, Concept Graph de
Millsโ constant is defined as the smallest positive real number such that the floor of the double exponential function
is a prime number , for all positive integers . This constant is named after William H. Mills who proved in 1947 the existence of based on results of Guido Hoheisel and Albert Ingham on the prime gaps.
If the Riemann hypothesis is true it is approximately
The primes generated by Millsโ constant are known as Mills primes . If the Riemann hypothesis is true, the sequence begins
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 Millsโ constant is defined as the smallest positive real number such that the floor of the double exponential function
is a prime number , for all positive integers . This constant is named after William H. Mills who proved in 1947 the existence of based on results of Guido Hoheisel and Albert Ingham on the prime gaps.
If the Riemann hypothesis is true it is approximately
The primes generated by Millsโ constant are known as Mills primes . If the Riemann hypothesis is true, the sequence begins
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The degree (or valency ) of a vertex is the number of edges at , this equal to the number of neighbours of . A vertex of degree is called isolated vertex . The number is the minimum degree of , the number is the maximum degree of . The number is the average degree of .
- Definition, Concept Graph de
For a graph , the minimum length of a cycle contained in is the girth of . The maximum length of a cycle contained in is the circumference of . For a graph which does not contain a cycle the girth is set to , its circumference is set to zero.
- Definition, Concept Graph de
Integer division computes the integer quotient (or modulus ) of two integers . is defined as that , such that for some . The number is called the remainder and is written as .
- Definition, Concept Graph de
Integer division computes the integer quotient (or modulus ) of two natural numbers and . is defined as that , such that for some . The number is called the remainder and is written as .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 For a positive integer , two integers and are said to be congruent modulo , written: if divides their difference .
The number is called the modulus of the congruence .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The Moebius function is defined for all positive integers and has its values in depending on the factorization of into prime factors . It is defined as follows:
- Definition, Concept Graph de
, then we call a unit (or identity ) for , if and for all and call a monoid .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 mathml 0 The monster group or (also known as the FischerโGriess monster , or the Friendly Giant ) is a simple group (one of the 26 sporadic groups) of finite order:
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The Motzkin number for a given number is the number of different ways of drawing non-intersecting chords on a circle between points.
The first Motzkin numbers are .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 Motzkin numbers are defind by the recurrence relation:
where .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 Motzkin numbers for natural numbers can be expressed in terms of Catalan numbers :
- Definition, Concept Graph zhs de
A multi-relation expression is built up from binary relations via conjunction: holds, iff holds and also .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr de
Languages Arguments Rendering mathml 0 mathml 0 The empty set (also written as ) is the set without elements. A set is called empty , iff it , and non-empty otherwise.
Multimea vida (scrisa si ca este multimea care nu contine niciun element. O multime se numeste vida , daca si numai daca , si nevida altfel.
- Definition, Concept Graph de
A number is called multiperfect or -perfect for a given natural number , if and only if the sum of all positive divisors of is equal to .
- Definition, Concept Graph de
For integers and , , we say that is a divisor of (or divides or is a multiple of ) and write , if there exists an integer such that .
- Definition, Concept Graph de
A multiple Harshad number is a Harshad number that, when divided by the sum of its digits , produces another Harshad number .
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 mathml 0 Real addition , subtraction , multiplication , division , and exponentiation are extended to the real numbers , so that they respect limits.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 mathml 0 On the , multiplication is defined by cases
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 mathml 0 Multiplication computes the product (also written as or ) of natural numbers and . It is defined by the equations and .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 mathml 0 Multiplication computes the product of numbers and .
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 mathml 0 The multiplication on complex numbers , is defined as .
- Definition, Concept Graph de
The multiplicative digital root of a positive integer is found by multiplying the digits of together, then repeating this operation until only a single digit remains. This single-digit number is called the multiplicative digital root of .
- Definition, Concept Graph de
The multiplicative persistence is the number of steps required to reach a single digit .
- Definition, Concept Graph zht zhs
The multiplicity of an element is the number of instances of the element in a specific multiset .
- Definition, Concept Graph zht zhs
The multiplicity of an element is the number of instances of the element in a specific multiset .
A multiset is a generalization of the concept of a set, whereas multiset allows multiple instances for every elements.
- Definition, Concept Graph zhs tr de
O familie de multimi se numeste disjuncta doua cate doua sau disjuncte reciproc , daca oricare doua dintre ele sunt disjuncte .
A family of sets is called pairwise disjoint or mutually disjoint , if any two of them are disjoint .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 Two integers are said to be coprime (also spelled co-prime ), relatively prime or mutually prime if their greatest common divisor is .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The number , sometimes called Eulerโs constant (also known as Napierโs constant ) is an important mathematical constant.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 The Narayana numbers count the number of paths from to , with steps only northeast and southeast, not straying below the -axis, with peaks(maxima).
where and are natural number with .
- Definition, Concept Graph de
A subset of positive integers has an asymptotic density (or natural density ) , where , if the limit exists
is the number of elements of less than or equal to .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 mathml 0 The natural logarithm is the logarithm to the base .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The set of natural numbers is the set .
- Definition, Concept Graph de
A near Wilson prime is a prime number satisfying the congruence
with an integer and small .
- Definition, Concept Graph zhs
We call a partial function undefined at (write ), iff for all .
Spunem ca o functie partiala este nedefinita in (scris ca ), daca si numai daca pentru oricare ar fi .
We call a partial function undefined at (write ), iff for all .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The set of real numbers is defined as the completion of .
We use and for the sets of negative real numbers and positive real numbers .
- Definition, Concept Graph de
Two distinct edges and are adjacent if they have an end in common.
Two vertices and in a graph are adjacent , or neighbours , if is an edge of .
- Definition, Concept Graph de
A Newman-Shanks-Williams prime , or NSW prime , is a prime number which can be written in the form
where is a natural number .
- Definition, Concept Graph de
The Mercator series or Newton-Mercator series is the Taylor series for the natural logarithm :
The series converges whenever .
- Definition, Concept Graph de
If is differentiable on , then the derivative function of (with respect to ) is defined as
The dependency of on is left implicit in this notation ( Lagrangeโs notation ). In Leibnizโs notation we write the derivative of with respect to as and the derivative of at as or . In Eulerโs notation , this is written as and in Newtonโs notation as .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The ninth Smarandache constant is defind by
where is the Smarandache function .
The sum converges .
- Definition, Concept Graph de
A Harshad number or Niven number in a given number base is an integer that is divisible by the sum of its digits when written in that base.
- Definition, Concept Graph de
A Nivenmorphic number or Harshadmorphic number for a given number base is an integer such that there exists some Harshad number whose digit sum is , and , written in that base, terminates written in the same base.
For example, is a Nivenmorphic number because is a Harshad number that digit sum is and the last digits of are too.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 We define and is the largest exponent appearing in the prime factorization of a natural number .
The Nivenโs constant is defined by
It follows
- Definition, Concept Graph de
A directed graph (also called digraph or oriented graph ) is a pair such that is a set and . We call the vertices (or nodes ) and the edges of .
- Definition, Concept Graph de
A graph is a pair such that is a set and is a subset of the set of pairs from . We call the vertices (or nodes , point s, junctions ) and the edges (or lines , branches , arcs ) of .
- Definition, Concept Graph zhs de
The empty set (also written as ) is the set without elements. A set is called empty , iff it , and non-empty otherwise.
- Definition, Concept Graph de
The integers , , and are known as the trivial divisors of . A divisor of that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Let be an alphabet, then we define the sets of nonempty words ( nonempty strings ) and of words ( strings ).
The operation of passing from an alphabet to is called Kleene closure , Kleene operation , or Kleene star . The operation is called Kleene plus .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Let be an alphabet, then we define the sets of nonempty words ( nonempty strings ) and of words ( strings ).
The operation of passing from an alphabet to is called Kleene closure , Kleene operation , or Kleene star . The operation is called Kleene plus .
- Definition, Concept Graph de
A nonhypotenuse number is a natural number whose square cannot be written as the sum of two nonzero squares.
The first nonhypotenuse numbers are:
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 Given a vector space over a subfield of the complex numbers , a norm on is a function such that for all and
-
1.
( absolute homogeneity or absolute scalability ).
-
2.
( triangle inequality or subadditivity ).
-
3.
If , then is the zero vector ( separates points ).
We call the pair a normed vector space with norm
-
1.
- Definition, Concept Graph de
A real number is said to be normal if its digits in every base follow a uniform distribution: all digits are equally likely, all pairs of digits equally likely, all triplets of digits equally likely, etc.
- Definition, Concept Graph de
is said to be normal in base if its digits in base follow a uniform distribution.
- Definition, Concept Graph de
A magic square that contains the integers from to is called a normal magic square .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 A subgroup of a group is called a normal subgroup if for all and , or in other words if is invariant under conjugation .
- Definition, Concept Graph de
A Latin square is said to be reduced (also, normalized or in standard form ) if both its first row and its first column are in their natural order.
- Definition, Concept Graph de
In scientific notation all numbers are written in the form of , ( times 10 raised to the power of ), is called the significand or mantissa .
is called normalized , iff
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The normalized sinc function is a function defined by
- Definition, Concept Graph de
Given a vector space over a subfield of the complex numbers , a norm on is a function such that for all and
-
1.
( absolute homogeneity or absolute scalability ).
-
2.
( triangle inequality or subadditivity ).
-
3.
If , then is the zero vector ( separates points ).
We call the pair a normed vector space with norm
-
1.
- Definition, Concept Graph de
A non-empty graph is said to be a connected graph if any two of its vertices are linked by a path in . If the subgraph , induced by a subset of the vertex set , is connected, we call itself connected (in ). For the negation we usually prefer โ disconnected โ over โ not connected โ.
- Definition, Concept Graph de
A Newman-Shanks-Williams prime , or NSW prime , is a prime number which can be written in the form
where is a natural number .
- Definition, Concept Graph de
A number is a mathematical object used to count or measure other objects.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The number of edges of a graph is written as .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The number of vertices of a graph , called its order , is written as .
- Definition, Concept Graph de
Number theory is a branch of pure mathematics devoted primarily to the study of the integers .
- Definition, Concept Graph
The number-of-divisors function is defined as the number of the positive divisors of .
Other notations: , ,
- Definition, Concept Graph de
In number theory , an arithmetic , arithmetical , or number-theoretic function is a real or complex -valued function defined on the set of natural numbers .
The identity function is called :
The following symbols are used:
the sum or product is over all prime numbers the sum or product is over all prime powers the sum or product is over all positive divisors of the sum or product is over all prime divisors of the sum or product is over all prime powers dividing - Definition, Concept Graph de
The representation of a number in a numeral system is called a numeral .
- Definition, Concept Graph de
A numeral system (or system of numeration ) is a writing system for expressing numbers , that is, a mathematical notation for representing numbers of a given set, using symbols in a consistent manner.
- Definition, Concept Graph de
If each entry of an Latin square is written as a triple , where is the row, is the column, and is the symbol, we obtain a set of triples called the orthogonal array representation ( OAR ) of the square.
- Definition, Concept Graph de
Oban numbers are defined as numbers whose English names do not contain the letter โoโ, (i.e., โoโ is banned). The numbers are
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 A pronic number , oblong number , rectangular number or heteromecic number , is a number which is the product of two consecutive natural numbers.
- Definition, Concept Graph zhs de
We call a permutation on a finite totally ordered set odd / even , if is; the property of being odd or even is called the parity of .
- Definition, Concept Graph
We call a triple an incidence structure (or incidence geometry ), with points , lines , and incidence realation (we say is on , if ), iff
-
โข
There are at least two points in .
-
โข
For any two points , there is exactly one line such that and .
-
โข
For every line there are at least two points on .
-
โข
For every line there is at least one point with .
-
โข
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 Let be a metric space , then we call the set the open ball and the closed ball around with radius . We also write and .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 is called a magma (also groupoid ), if is a set and is a binary function . is called the base set of and its operation .
- Definition, Concept Graph de
The unordered pair is a separation of if and has no edges between and . Clearly, the latter is equivalent to saying that separates from . if both and are non-empty, the separation is proper . The number is the order of the separation .
- Definition, Concept Graph de
A harmonic divisor number , or Ore number , is a positive integer whose divisors have a harmonic mean that is an integer.
- Definition, Concept Graph de
A directed graph (also called digraph or oriented graph ) is a pair such that is a set and . We call the vertices (or nodes ) and the edges of .
- Definition, Concept Graph de
If each entry of an Latin square is written as a triple , where is the row, is the column, and is the symbol, we obtain a set of triples called the orthogonal array representation ( OAR ) of the square.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Let be a directed graph and a vertex in , then we define
-
โข
indegree of as
-
โข
outdegree of as
-
โข
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 Let be a metric space and a sequence with for all , then the
-
โข
limit superior (also called supremum limit , superior limit , upper limit , or outer limit ) (also written as ) is defined as
-
โข
limit inferior (also called infimum limit , inferior limit , lower limit , or inner limit ) (also written as ) is defined as
-
โข
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The Padovan numbers are defined by the recurrence relation
- Definition, Concept Graph zhs tr de
O familie de multimi se numeste disjuncta doua cate doua sau disjuncte reciproc , daca oricare doua dintre ele sunt disjuncte .
A family of sets is called pairwise disjoint or mutually disjoint , if any two of them are disjoint .
- Definition, Concept Graph de
A practical number or panarithmic number is a positive integer such that all smaller positive integers can be represented as sums of distinct divisors of .
- Definition, Concept Graph de
A panmagic square is a magic square with the additional property that the broken diagonals, i.e. the diagonals that wrap round at the edges of the square, also add up to the magic constant .
- Definition, Concept Graph zhs de
We call a permutation on a finite totally ordered set odd / even , if is; the property of being odd or even is called the parity of .
- Definition, Concept Graph zhs
A relation , is called a partial function with domain (write ) and codomain (write ), iff for all there is at most one with .
We write and instead of .
A relation , is called a partial function with domain (write ) and codomain (write ), iff for all there is at most one with .
We write and instead of .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 For any sequence with or we define the -th partial sum .
The series induced by is the sequence of partial sums .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The Pell numbers are defined by the recurrence relation
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The companion Pell numbers or Pell-Lucas numbers are defined by the recurrence relation
- Definition, Concept Graph de
A perfect number is a positive integer that is equal to its aliquot sum .
- Definition, Concept Graph de
A permutable prime is a prime that is prime for all permutations of its digits .
For example:
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 A Perrin pseudoprime is a composite number that divides the Perrin number .
- Definition, Concept Graph de
Eulerโs totient or phi function is an arithmetic function that counts the totatives of , that is, the positive integer less than or equal to that are relatively prime to .
Thus if is a positive integer, then is the number of integers in the range for which .
- Definition, Concept Graph
A principal ideal domain , or PID , is an integral domain in which every ideal can be generated by a single element.
- Definition, Concept Graph de
A Pierpont prime is a prime number of the form
for some nonnegative integers and .
- Definition, Concept Graph de
A Pillai prime is a prime number for which there exists an integer such that and .
For example, the smallest Pillai prime is with :
- Definition, Concept Graph
A positional number system is a numeral system that uses positional notation (also called place-value notation ) to encode a number by a sequence of digits .
A positional number system for a number system is given as a pair , where is a finite set of digit (s we call the base or radix of ) and a injective mapping from to .
positional notation extends to a bijective mapping from finite sequences over to using the arithmetics of by interpreting a finite sequence as a sum of successive powers multiplied by . Details vary with .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The plastic number (also known as the plastic constant ) is a mathematical constant which is the unique real solution of the cubic equation . It has the value
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The plastic number (also known as the plastic constant ) is a mathematical constant which is the unique real solution of the cubic equation . It has the value
- Definition, Concept Graph de
A graph is a pair such that is a set and is a subset of the set of pairs from . We call the vertices (or nodes , point s, junctions ) and the edges (or lines , branches , arcs ) of .
- Definition, Concept Graph
We call a triple an incidence structure (or incidence geometry ), with points , lines , and incidence realation (we say is on , if ), iff
-
โข
There are at least two points in .
-
โข
For any two points , there is exactly one line such that and .
-
โข
For every line there are at least two points on .
-
โข
For every line there is at least one point with .
-
โข
- Definition, Concept Graph de
A polite number is a positive integer that can be written as the sum of two or more consecutive positive integers.
- Definition, Concept Graph
Let be a ring and be a polynomial over with variables , then we call the function , where is the evaluation of on the polynomial function associated to .
- Definition, Concept Graph
A positional number system is a numeral system that uses positional notation (also called place-value notation ) to encode a number by a sequence of digits .
A positional number system for a number system is given as a pair , where is a finite set of digit (s we call the base or radix of ) and a injective mapping from to .
positional notation extends to a bijective mapping from finite sequences over to using the arithmetics of by interpreting a finite sequence as a sum of successive powers multiplied by . Details vary with .
- Definition, Concept Graph de
A positional number system is a numeral system that uses positional notation (also called place-value notation ) to encode a number by a sequence of digits .
A positional number system for a number system is given as a pair , where is a finite set of digit (s we call the base or radix of ) and a injective mapping from to .
positional notation extends to a bijective mapping from finite sequences over to using the arithmetics of by interpreting a finite sequence as a sum of successive powers multiplied by . Details vary with .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The set of positive natural numbers is the set .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The set of real numbers is defined as the completion of .
We use and for the sets of negative real numbers and positive real numbers .
- Definition, Concept Graph de
The exponentiation operation raises a number (the base ) to the power (the exponent ). We define it as
- Definition, Concept Graph de
Exponentiation raises a number (the base ) to the power (the exponent ). We define
- Definition, Concept Graph de
Exponentiation aises a natural number (the base ) to the -th power ( is called the exponent ). We define and .
- Definition, Concept Graph de
Exponentiation aises a number (the base ) to the -th power ( is called the exponent ).
- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr ro de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Let be a set, then the power set of is .
- Definition, Concept Graph de
A powerful number is the product of a square and a cube. Powerful numbers are also known as squareful numbers , square-full numbers , or 2-full numbers .
A powerful number is a positive integer such that for every prime number dividing , also divides .
- Definition, Concept Graph de
A semiprime (also called biprime or 2-almost prime , or pq number ) is a natural number that is the product of two (not necessarily distinct) prime numbers .
- Definition, Concept Graph de
A practical number or panarithmic number is a positive integer such that all smaller positive integers can be represented as sums of distinct divisors of .
- Definition, Concept Graph zhs de
Let be a set , then a Kuratowski closure operator (or simply closure operator ) is an assignment with the following properties:
-
1.
( preservation of nullary union
-
2.
for every subset ( extensitivity )
-
3.
( preservation of binary union )
-
4.
for every subset ( idempotence )
Without the idempotence axiom, we speak of a preclosure operator .
We call a set closed , iff .
-
1.
- Definition, Concept Graph de
Let be an alphabet , then we say that a word is a subword ( substring ) of a word (written ), iff there are words , such that . If or , then we call a proper subword ( proper substring ) of and write .
If , then we call a prefix of and write , if additionally we call a proper prefix of and write . Similarly, if , then we call a suffix of , if additionally a proper suffix of .
- Definition, Concept Graph zhs de
Let be a set , then a Kuratowski closure operator (or simply closure operator ) is an assignment with the following properties:
-
1.
( preservation of nullary union
-
2.
for every subset ( extensitivity )
-
3.
( preservation of binary union )
-
4.
for every subset ( idempotence )
Without the idempotence axiom, we speak of a preclosure operator .
We call a set closed , iff .
-
1.
- Definition, Concept Graph zhs de
Let be a set , then a Kuratowski closure operator (or simply closure operator ) is an assignment with the following properties:
-
1.
( preservation of nullary union
-
2.
for every subset ( extensitivity )
-
3.
( preservation of binary union )
-
4.
for every subset ( idempotence )
Without the idempotence axiom, we speak of a preclosure operator .
We call a set closed , iff .
-
1.
- Definition, Concept Graph de
A primary pseudoperfect number is a number that satisfies the Egyptian fraction equation
where the sum is over only the prime factors of .
- Definition, Concept Graph de
Let be a commutative ring and with and . We call prime if it divisor or , whenever it divides .
- Definition, Concept Graph de
A prime number is called a prime factor of the natural number , if is a divisor of .
- Definition, Concept Graph de
Prime factorization is the decomposition of a composite number into prime factors , which when multiplied together equal the original number .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 A prime gap is the difference between two successive prime numbers . The -th prime gap , denoted or is the difference between the -th and the -th prime number .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 A prime number is a natural number greater than that has no positive divisors other than and itself.
- Definition, Concept Graph de
A prime quadruplet (sometimes called prime quadruple ) is a set of four primes of the form .
For example:
- Definition, Concept Graph de
A prime quadruplet (sometimes called prime quadruple ) is a set of four primes of the form .
For example:
- Definition, Concept Graph de
If is a prime quadruplet and or is also prime , then the five primes form a prime quintuplet .
For example:
- Definition, Concept Graph de
A prime reciprocal magic square is a magic square using the decimal digits of the reciprocal of a prime number .
- Definition, Concept Graph de
If is a prime quadruplet and both and are also primes , then the six primes form a prime sextuplet .
For example:
- Definition, Concept Graph de
A Pythagorean triple consists of three natural numbers , and , such that . A primitive Pythagorean triple is one in which , and are coprime .
- Definition, Concept Graph de
A number is a primitive root modulo if every number coprime to is congruent modulo to a power of modulo .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 The primorial of a natural number , denoted by , is the product of all prime numbers less than or equal to .
- Definition, Concept Graph de
Primorial primes are prime numbers of the form where is the primorial of (that is the product of the first primes ).
- Definition, Concept Graph
A principal ideal domain , or PID , is an integral domain in which every ideal can be generated by a single element.
- Definition, Concept Graph de
Multiplication computes the product (also written as or ) of natural numbers and . It is defined by the equations and .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 1 Let be a set and be an equivalence relation on , then for any we call we call the set the equivalence class of (under ), and the set the quotient space of (under ).
The mapping is called the projection of to .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 A pronic number , oblong number , rectangular number or heteromecic number , is a number which is the product of two consecutive natural numbers.
- Definition, Concept Graph de
The unordered pair is a separation of if and has no edges between and . Clearly, the latter is equivalent to saying that separates from . if both and are non-empty, the separation is proper . The number is the order of the separation .
- Definition, Concept Graph de
The integers , , and are known as the trivial divisors of . A divisor of that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor .
- Definition, Concept Graph de
Let be an alphabet , then we say that a word is a subword ( substring ) of a word (written ), iff there are words , such that . If or , then we call a proper subword ( proper substring ) of and write .
If , then we call a prefix of and write , if additionally we call a proper prefix of and write . Similarly, if , then we call a suffix of , if additionally a proper suffix of .
- Definition, Concept Graph de
Let be an alphabet , then we say that a word is a subword ( substring ) of a word (written ), iff there are words , such that . If or , then we call a proper subword ( proper substring ) of and write .
If , then we call a prefix of and write , if additionally we call a proper prefix of and write . Similarly, if , then we call a suffix of , if additionally a proper suffix of .
- Definition, Concept Graph
Let be an alphabet , then we say that a word is a subword ( substring ) of a word (written ), iff there are words , such that . If or , then we call a proper subword ( proper substring ) of and write .
If , then we call a prefix of and write , if additionally we call a proper prefix of and write . Similarly, if , then we call a suffix of , if additionally a proper suffix of .
- Definition, Concept Graph de
Let be an alphabet , then we say that a word is a subword ( substring ) of a word (written ), iff there are words , such that . If or , then we call a proper subword ( proper substring ) of and write .
If , then we call a prefix of and write , if additionally we call a proper prefix of and write . Similarly, if , then we call a suffix of , if additionally a proper suffix of .
- Definition, Concept Graph de
A Proth number is a number of the form where is an odd positive integer and is a positive integer such that .
- Definition, Concept Graph de
A Proth prime is a prime number of the form where is an odd positive integer and is a positive integer such that .
- Definition, Concept Graph de
A Pythagorean box is a quadruple of natural numbers those define a cuboid with side lengths , , and the space diagonal length .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 4 A Pythagorean quadruple is a tuple of integers , , and , such that and
- Definition, Concept Graph de
A Pythagorean triple consists of three natural numbers , and , such that . A primitive Pythagorean triple is one in which , and are coprime .
- Definition, Concept Graph de
An integer is called a quadratic residue modulo if and it is congruent to a perfect square modulo ; i.e., if there exists an integer such that . Otherwise, is called a quadratic nonresidue modulo .
- Definition, Concept Graph de
An integer is called a quadratic residue modulo if and it is congruent to a perfect square modulo ; i.e., if there exists an integer such that . Otherwise, is called a quadratic nonresidue modulo .
- Definition, Concept Graph de
A quasigroup is a such that for all there are such that and .
We write and call the left division and and call the right division .
- Definition, Concept Graph de
An abundant number with abundance is called a quasiperfect number , although none have yet been found.
- Definition, Concept Graph de
Division computes the quotient of and . It is defined as is that โ if it exists, such that .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs de
Languages Arguments Rendering mathml 2 Let be a set and be an equivalence relation on , then for any we call we call the set the equivalence class of (under ), and the set the quotient space of (under ).
The mapping is called the projection of to .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The radical of an integer is the product of its different prime factors .
- Definition, Concept Graph de
A positional number system is a numeral system that uses positional notation (also called place-value notation ) to encode a number by a sequence of digits .
A positional number system for a number system is given as a pair , where is a finite set of digit (s we call the base or radix of ) and a injective mapping from to .
positional notation extends to a bijective mapping from finite sequences over to using the arithmetics of by interpreting a finite sequence as a sum of successive powers multiplied by . Details vary with .
- Definition, Concept Graph de
Let for real numbers , , , and , then the Ramanujan 6-10-8 identity is given by
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The Ramanujan-Soldner constant is defined as the unique positive zero of the logarithmic integral .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 Ramanujanโs constant is the irrational number
It is very close to an integer :
.
- Definition, Concept Graph de
A real function , also real-valued function , is a function whose values are real numbers .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The set of real numbers is defined as the completion of .
We use and for the sets of negative real numbers and positive real numbers .
- Definition, Concept Graph de
A real function , also real-valued function , is a function whose values are real numbers .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 A pronic number , oblong number , rectangular number or heteromecic number , is a number which is the product of two consecutive natural numbers.
- Definition, Concept Graph de
A Latin square is said to be reduced (also, normalized or in standard form ) if both its first row and its first column are in their natural order.
- Definition, Concept Graph de
A sequence of -Ulam numbers is called regular if the sequence of differences between consecutive numbers in the sequence is eventually periodic.
- Definition, Concept Graph de
If in a graph all the vertices have the same degree, say , then is called -regular , or simply regular .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr ro de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 mathml 0 Let and be sets, then the set difference of and is .
We also call the relative complement or simply complement of in . If is clear from the context, we write for the complement of in .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 Two integers are said to be coprime (also spelled co-prime ), relatively prime or mutually prime if their greatest common divisor is .
- Definition, Concept Graph de
Integer division computes the integer quotient (or modulus ) of two integers . is defined as that , such that for some . The number is called the remainder and is written as .
- Definition, Concept Graph de
Integer division computes the integer quotient (or modulus ) of two natural numbers and . is defined as that , such that for some . The number is called the remainder and is written as .
- Definition, Concept Graph de
A repdigit is a number that contains only the same digit .
The representation of the repdigits in base is for , and .
- Definition, Concept Graph de
A repdigit is a number that contains only the same digit .
The representation of the repdigits in base is for , and .
- Definition, Concept Graph de
The digital root (also repeated digital sum ) of a number is the (single digit ) value obtained by an iterative process of summing digit , on each iteration using the result from the previous iteration to compute a digit sum . The process continues until a single- digit number is reached.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 A repunit is a natural number that contains only the digit .
The base-b repunits are defined as for and .
A repunit prime is a repunit that is also a prime number .
- Definition, Concept Graph de
A repunit is a natural number that contains only the digit .
The base-b repunits are defined as for and .
A repunit prime is a repunit that is also a prime number .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs de
Languages Arguments Rendering mathml 2 Let be a function and , then we call the function the restriction of to .
- Definition, Concept Graph de
The Riemann hypothesis is the conjecture that the nontrivial zeros of the Riemann zeta function all have real part .
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 2 The Riemann integral of a function over the interval is the limit of the Riemann sums.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The following infinite series converges for all complex numbers with real part greater than
where . The Riemann zeta function is a function of a complex variable defined as the analytic continuation of the function above.
- Definition, Concept Graph de
A Riesel number is an odd natural number such that is composite , for all natural numbers .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 Given an element of the group and one of its subgroups , we define the left coset (respectively the right coset ) of with as (respectively ).
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 A quasigroup is a such that for all there are such that and .
We write and call the left division and and call the right division .
- Definition, Concept Graph de
Two non- zero elements and of a ring are called a left zero divisor and a right zero divisor respectively, if . An element that is a left or a right zero divisor is simply called a zero divisor .
- Definition, Concept Graph de
A right-truncatable prime is a prime number which remains prime when the last (โrightโ) digit is successively removed.
For example:
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 mathml 2 Let with and .
Then the leftsided limit of at (also: the limit of as approaches from below) is defined to be the , sucht that for every there is a such that whenever . The leftsided limit is written as , , or .
Analogously, the rightsided limit at (also: the limit of as approaches from above) is the , such that for every there is a such that whenever . The rightsided limit is written as , , or .
- Definition, Concept Graph de
A ringoid is a structure , where the operations are distributive , i.e. and for all .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 The -th root of a number is the โ if it exists, such that .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 The -th root of a number is that โ if it exists, such that .
- Definition, Concept Graph de
A root of a polynomial is a zero of the associated polynomial function .
- Definition, Concept Graph de
A Schrรถder number is the number of paths from the southwest corner of an grid to the northeast corner , using only single steps north, northeast, or east, that do not rise above the SW-NE diagonal.
The first few Schrรถder numbers are
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The Schrรถder-Hipparchus number (or super-Catalan number ) is for natural numbers defind by the recurrence relation:
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The Schrรถder-Hipparchus number (or super-Catalan number ) is the number of plane trees with leaves.
The first Schrรถder-Hipparchus numbers are:
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The Schrรถder-Hipparchus number (or super-Catalan number ) is for natural numbers defined by
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 In scientific notation all numbers are written in the form of , ( times 10 raised to the power of ), is called the significand or mantissa .
is called normalized , iff
- Definition, Concept Graph de
The second Chebyshev function is defined with the sum extending over all prime powers not exceeding
So where is the von Mangoldt function .
- Definition, Concept Graph zhs
A second countable space is a topological space that has a countable base .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 We call the first projection and the second projection .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The second Skewes number is the number above which must fail assuming that the Riemann hypothesis is false.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The second Smarandache constant is defind by
where is the Smarandache function .
- Definition, Concept Graph de
A self number , Colombian number or Devlali number is an positive integer which, in a given base, cannot be generated by any other integer added to the digit sum of this other integer.
- Definition, Concept Graph de
A magma with associative operation is called a semigroup . In a semigroup , we write as .
- Definition, Concept Graph de
Semimagic squares are like magic square but not necessarily the diagonals sum to the magic constant .
- Definition, Concept Graph de
A semiprime (also called biprime or 2-almost prime , or pq number ) is a natural number that is the product of two (not necessarily distinct) prime numbers .
- Definition, Concept Graph de
If in a graph there are and such that every โ path in contains a vertex or an edge from , we say that separate s the sets and in . This implies that . More generally we say that separates if is disconnected, that is, if separates in some two vertices that are not in .
A separating set of vertices is a separator . Seperating sets do not have a generic name, but some sets do, we have, for example, cuts and bonds . A vertex which separates two other vertices of the same component is a cutvertex , an edge separating its ends is a bridge . Thus, the bridges in a graph are precisely those edges that do not lie on a cycle .
- Definition, Concept Graph de
Given a vector space over a subfield of the complex numbers , a norm on is a function such that for all and
-
1.
( absolute homogeneity or absolute scalability ).
-
2.
( triangle inequality or subadditivity ).
-
3.
If , then is the zero vector ( separates points ).
We call the pair a normed vector space with norm
-
1.
- Definition, Concept Graph
If in a graph there are and such that every โ path in contains a vertex or an edge from , we say that separate s the sets and in . This implies that . More generally we say that separates if is disconnected, that is, if separates in some two vertices that are not in .
A separating set of vertices is a separator . Seperating sets do not have a generic name, but some sets do, we have, for example, cuts and bonds . A vertex which separates two other vertices of the same component is a cutvertex , an edge separating its ends is a bridge . Thus, the bridges in a graph are precisely those edges that do not lie on a cycle .
- Definition, Concept Graph de
The unordered pair is a separation of if and has no edges between and . Clearly, the latter is equivalent to saying that separates from . if both and are non-empty, the separation is proper . The number is the order of the separation .
- Definition, Concept Graph
If in a graph there are and such that every โ path in contains a vertex or an edge from , we say that separate s the sets and in . This implies that . More generally we say that separates if is disconnected, that is, if separates in some two vertices that are not in .
A separating set of vertices is a separator . Seperating sets do not have a generic name, but some sets do, we have, for example, cuts and bonds . A vertex which separates two other vertices of the same component is a cutvertex , an edge separating its ends is a bridge . Thus, the bridges in a graph are precisely those edges that do not lie on a cycle .
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 2 A sequence , , is a function whose domain is a countable , totally ordered set (e.g. , then we often write ). If is infinite , we call any sequence on an inifinite sequence , otherwise, the cardinality of is called the length of .
Sequences are writen as
-
โข
for a concrete finite sequence
-
โข
for a finite sequence with ellipsis
-
โข
and for a sequence of upper/lower-indexed variables of length
-
โข
for an infinite sequence
-
โข
and for a sequence of upper/lower-indexed variables of length
Given a sequence , we can also select the th element via .
-
โข
- Definition, Concept Graph de
For any sequence with or we define the -th partial sum .
The series induced by is the sequence of partial sums .
- Definition, Concept Graph de
For any sequence with or we define the -th partial sum .
The series induced by is the sequence of partial sums .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr ro de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 mathml 0 Let and be sets, then the set difference of and is .
We also call the relative complement or simply complement of in . If is clear from the context, we write for the complement of in .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The seventh Smarandache constant is defind for a natural number by
where is the Smarandache function .
The sum converges .
- Definition, Concept Graph de
A Sierpinski number is an odd natural numbers such that is composite , for all natural numbers .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 Sierpinskiโs constant is defined by
where is the number of representations of as a sum of the form for integers and .
.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The sign of a permutation (or signature ) of a finite totally ordered set is if is even and else:
- Definition, Notations, Concept Graph zhs de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The sign of a permutation (or signature ) of a finite totally ordered set is if is even and else:
- Definition, Concept Graph de
In scientific notation all numbers are written in the form of , ( times 10 raised to the power of ), is called the significand or mantissa .
is called normalized , iff
- Definition, Concept Graph de
The Silver constant is the real root of the equation
which is , so its numeric value is approximately .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The silver ratio is a real number defind by
We have and
- Definition, Concept Graph de
A non- trivial group is called simple if its only normal subgroup are the trivial group and the group itself.
- Definition, Concept Graph de
We call a partial ordering a linear order (or simple order or total ordering ), iff or for all .
- Definition, Concept Graph de
A real numbers is said to be simply normal if its digits in every base are equally likely.
- Definition, Concept Graph de
is said to be simply normal in base if its digits in base are equally likely.
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The sine function is defined by
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The sine integral is defined by:
is the primitive of which is zero for .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The sine integral is defined by:
is the primitive of which is zero for .
- Definition, Concept Graph de
Let be a directed graph , then we call a node
-
โข
initial (or source ) in , iff there is no such that .
-
โข
terminal (or sink ) in , iff there is no such that .
-
โข
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The sixteenth Smarandache constant is defind by
where is the Smarandache function .
The sum converges for all real numbers .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The sixth Smarandache constant is defind by
where is the Smarandache function .
The sum converges .
.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 mathml 0 We say that a set is finite and has cardinality (or size ) , iff there is a bijective function .
The cardinality of a set is also written as , , , or .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The Skewes number (or first Skewes number ) is the number above which must fail assuming that the Riemann hypothesis is true, where is the prime counting function and is the logarithmic integral .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 The least common multiple (lcm) (also called the lowest common multiple or smallest common multiple ) of two or more integers is the smallest positive integer that is divisible by all given integers .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 The Smarandache function is defined for a given positive integer to be the smallest number such that divides its factorial .
- Definition, Concept Graph de
A Smarandache-Wellin number is a natural number that in a given base is the concatenation of the first prime numbers written in that base.
The first decimal Smarandache-Wellin numbers are:
- Definition, Concept Graph de
Sociable numbers are numbers whose aliquot sums form a cyclic sequence that begins and ends with the same number.
- Definition, Concept Graph de
Let be a directed graph , then we call a node
-
โข
initial (or source ) in , iff there is no such that .
-
โข
terminal (or sink ) in , iff there is no such that .
-
โข
- Definition, Concept Graph de
Let be a set, then with
is a distance function . We call it the discrete metric on and the discrete metric space or space of isolated points .
- Definition, Concept Graph de
A sparse antimagic square of order is an arrangement of the numbers to () and zeros in a square, such that the sums of the rows and the sums of the columns form a sequence of consecutive integers .
- Definition, Concept Graph de
A sparse totally antimagic square of order is an arrangement of the numbers to () and zeros in a square, such that the sums of the rows, the columns and the diagonals form a sequence of consecutive integers .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 The special linear group of degree over a field is the set of matrices with determinant 1, with the group operations of ordinary matrix multiplication and matrix inversion .
- Definition, Concept Graph de
A sphenic number is a natural number that is the product of three distinct prime numbers .
- Definition, Concept Graph de
A natural number is square-free if and only if in the prime factorization of , no prime number occurs more than once.
- Definition, Concept Graph de
A powerful number is the product of a square and a cube. Powerful numbers are also known as squareful numbers , square-full numbers , or 2-full numbers .
A powerful number is a positive integer such that for every prime number dividing , also divides .
- Definition, Concept Graph de
A powerful number is the product of a square and a cube. Powerful numbers are also known as squareful numbers , square-full numbers , or 2-full numbers .
A powerful number is a positive integer such that for every prime number dividing , also divides .
- Definition, Concept Graph de
Pairwise non- adjacent vertices or edges of a graph are called independent . A set of vertices or of edges is independent if no two of its elements are adjacent . Independent sets of vertices are also called stable sets .
- Definition, Concept Graph de
A Latin square is said to be reduced (also, normalized or in standard form ) if both its first row and its first column are in their natural order.
- Definition, Concept Graph de
The Ulam numbers form an integer sequence . The standard Ulam sequence starts with and . Then for , is defined to be the smallest integer that is the sum of two distinct earlier terms in exactly one way.
The first numbers are
- Definition, Concept Graph de
If for a prime there is no smaller prime and a positive integer such that
then is a Stern prime .
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 2 is called the Stirling number of the first kind .
- Definition, Concept Graph de
Let be an alphabet, then we define the sets of nonempty words ( nonempty strings ) and of words ( strings ).
An alphabet is a finite set; we call each element a character , and an -tuple of a word (or string ) of over . We will often write a string as or even as . We write the empty word ( empty string ) in with .
- Definition, Concept Graph de
Let be an alphabet, then we define the sets of nonempty words ( nonempty strings ) and of words ( strings ).
- Definition, Concept Graph de
A strong prime is a prime number that is greater than the arithmetic mean of the nearest primes above and below.
where is the th prime number.
- Definition, Concept Graph
We say that an abstract reduction system
-
โข
has the diamond property (or is strongly confluent ), iff for every with there is a with and .
-
โข
is confluent , iff for every with there is a with and .
-
โข
weakly confluent iff for every with there is a with and .
diamond confluent weakly property confluent [yscale=.7,xscale=.7] โnode(a) at (1,2) a; โnode(b) at (0,1) b; โnode(c) at (2,1) c; โnode(d) at (1,0) d; โdraw[-ยฟ] (a) โ (b); โdraw[-ยฟ] (a) โ (c); โdraw[-ยฟ] (b) โ (d); โdraw[-ยฟ] (c) โ (d); [yscale=.7,xscale=.7] โnode(a) at (1,2) a; โnode(b) at (0,1) b; โnode(c) at (2,1) c; โnode(d) at (1,0) d; โdraw[-ยฟ] (a) โ node [left,near end] * (b); โdraw[-ยฟ] (a) โ node [right,near end] * (c); โdraw[-ยฟ] (b) โ node [left,at end] * (d); โdraw[-ยฟ] (c) โ node [right,at end] * (d); [yscale=.7,xscale=.7] โnode(a) at (1,2) a; โnode(b) at (0,1) b; โnode(c) at (2,1) c; โnode(d) at (1,0) d; โdraw[-ยฟ] (a) โ (b); โdraw[-ยฟ] (a) โ (c); โdraw[-ยฟ] (b) โ node [left,at end] * (d); โdraw[-ยฟ] (c) โ node [right,at end] * (d); -
โข
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 A structure combines multiple mathematical objects (the components ) into a new object. Structures are usually given as finite enumerations, where the components have names by which they can be referenced.
- Definition, Concept Graph de
Given a vector space over a subfield of the complex numbers , a norm on is a function such that for all and
-
1.
( absolute homogeneity or absolute scalability ).
-
2.
( triangle inequality or subadditivity ).
-
3.
If , then is the zero vector ( separates points ).
We call the pair a normed vector space with norm
-
1.
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 1 A group generated by a subset (which is then called a generating set of ), iff every element of can be expressed as the combination (under ) of finitely many elements of and their inverses .
If is a subset of a group , then , the subgroup generated by , is the subgroup of all elements of that can be expressed as the finite product of elements in and their inverses . If , then we say generates ; and the elements in are called generators or group generators .
- Definition, Concept Graph de
A sublime number is a positive integer which has a perfect number of positive divisors (including itself), and whose positive divisors add up to another perfect number.
- Definition, Concept Graph de
Let be a ring . Any intersection of subrings of is again a subring of . Therefore, if is any subset of , the intersection of all subrings of containing is a subring of . S is the smallest subring of containing . is said to be the subring generated by . If , we may say that the ring is generated by .
- Definition, Concept Graph de
Let be an alphabet , then we say that a word is a subword ( substring ) of a word (written ), iff there are words , such that . If or , then we call a proper subword ( proper substring ) of and write .
If , then we call a prefix of and write , if additionally we call a proper prefix of and write . Similarly, if , then we call a suffix of , if additionally a proper suffix of .
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Real addition , subtraction , multiplication , division , and exponentiation are extended to the real numbers , so that they respect limits.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Subtraction computes the the difference of and which is defined as .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The subtraction operator computes the difference of and which is defined as .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Subtraction computes the difference of natural numbers and . It is defined as is that natural number โ if it exists, such that .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Subtraction computes the difference of and . It is defined as is that number โ if it exists, such that .
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The subtraction operator computes the the difference of and which is defined as .
- Definition, Concept Graph de
Let be an alphabet , then we say that a word is a subword ( substring ) of a word (written ), iff there are words , such that . If or , then we call a proper subword ( proper substring ) of and write .
If , then we call a prefix of and write , if additionally we call a proper prefix of and write . Similarly, if , then we call a suffix of , if additionally a proper suffix of .
- Definition, Concept Graph de
Let be an alphabet , then we say that a word is a subword ( substring ) of a word (written ), iff there are words , such that . If or , then we call a proper subword ( proper substring ) of and write .
If , then we call a prefix of and write , if additionally we call a proper prefix of and write . Similarly, if , then we call a suffix of , if additionally a proper suffix of .
- Definition, Concept Graph de
Addition computes the sum of of natural numbers and . It defined by the equations and , where is the successor function.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 The sum-of-divisors function (also written as ) is defined as the sum of the positive divisors of , i.e.
- Definition, Concept Graph de
A sum-product number is a natural number that in a given base is equal to the sum of its digits times the product of its digits .
- Definition, Concept Graph de
The summatory von Mangoldt function , also known as the Chebyshev function , is defined as
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The Schrรถder-Hipparchus number (or super-Catalan number ) is for natural numbers defind by the recurrence relation:
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The Schrรถder-Hipparchus number (or super-Catalan number ) is the number of plane trees with leaves.
The first Schrรถder-Hipparchus numbers are:
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The Schrรถder-Hipparchus number (or super-Catalan number ) is for natural numbers defined by
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 Let be a metric space and a sequence with for all , then the
-
โข
limit superior (also called supremum limit , superior limit , upper limit , or outer limit ) (also written as ) is defined as
-
โข
limit inferior (also called infimum limit , inferior limit , lower limit , or inner limit ) (also written as ) is defined as
-
โข
- Definition, Concept Graph de
A supersingular prime is a prime factor of the order of the monster group :
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 3 Let be an ordered set and , then we call the smallest upper bound (largest lower bound ) of the supremum or least upper bound ( infimum or greatest lower bound ) of (if it exists).
If is an expression and a condition (in a variable ), we write for and call it the supremum for over . Analogously, we write for and call it the infimum for over
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Let be an ordered set and , then we call the smallest upper bound (largest lower bound ) of the supremum or least upper bound ( infimum or greatest lower bound ) of (if it exists).
If is an expression and a condition (in a variable ), we write for and call it the supremum for over . Analogously, we write for and call it the infimum for over
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 Let be a metric space and a sequence with for all , then the
-
โข
limit superior (also called supremum limit , superior limit , upper limit , or outer limit ) (also written as ) is defined as
-
โข
limit inferior (also called infimum limit , inferior limit , lower limit , or inner limit ) (also written as ) is defined as
-
โข
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The Sylvester sequence is an integer sequence in which each member of the sequence is the product of the previous members plus one. The first elements are (starting with )
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 1 The symmetric group on a finite set is the group whose elements are all bijective functions from to and whose group operation is that of function composition . The symmetric group of degree is the symmetric group on the set .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The symmetric group on a finite set is the group whose elements are all bijective functions from to and whose group operation is function composition .
- Definition, Concept Graph de
Let be a set, then we call a function a distance function (or metric ) on , iff for all the following three identities hold:
-
1.
iff ( identity of indiscernibles ),
-
2.
( symmetry ), and
-
3.
( triangle inequality ).
We call a metric space with base set and metric .
-
1.
- Definition, Concept Graph de
A numeral system (or system of numeration ) is a writing system for expressing numbers , that is, a mathematical notation for representing numbers of a given set, using symbols in a consistent manner.
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 The tangent function (sometimes also written as ) is defined as
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The th taxicab number is defined as the smallest number that can be expressed as a sum of two positive cubes in distinct ways.
For example:
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 3 Let be a real-or complex-valued function that is smooth at a limit point of the domain of , then we call the infinite series given by
the Taylor series for around . If , then the series is known as the Mclaurin series .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The tenth Smarandache constants are defind by
where is the Smarandache function .
The sum converges for all real number .
- Definition, Concept Graph de
Let be a directed graph , then we call a node
-
โข
initial (or source ) in , iff there is no such that .
-
โข
terminal (or sink ) in , iff there is no such that .
-
โข
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 3 mathml 0 Given a base , a set of digits , and a bijection , then the base encoding of a number is , iff we call the th digit of (in base ) and write it as .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The third Smarandache constant is defind by
where is the Smarandache function .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 The thirteenth Smarandache constant is defind by
where is the Smarandache function .
The sum converges .
- Definition, Concept Graph zhs
A topological group is a group and a topological space such that the group operation and taking inverses are continuous functions
- Definition, Concept Graph zhs
A topological manifold is a second countable Hausdorff space that is locally homeomorphic to an Euclidean space , by a collection called an atlas .
- Definition, Concept Graph zhs
If is a total relation (i.e. for all there is a unique with ), we call a total function and write .
If is a total relation (i.e. for all there is a unique with ), we call a total function and write .
- Definition, Concept Graph de
We call a partial ordering a linear order (or simple order or total ordering ), iff or for all .
- Definition, Concept Graph zhs de
We call a structure of a set and a total ordering a linearly or totally ordered set
- Definition, Notations, Concept Graph zhs de
Languages Arguments Rendering mathml 1 Let be a binary relation, then we call the smallest transitive , reflexive relation that contains the transitive-reflexive closure of we denote it with .
- Definition, Concept Graph
We call a metric on the base set of a vector space with vector addition translation invariant , iff for all .
- Definition, Concept Graph de
Given a vector space over a subfield of the complex numbers , a norm on is a function such that for all and
-
1.
( absolute homogeneity or absolute scalability ).
-
2.
( triangle inequality or subadditivity ).
-
3.
If , then is the zero vector ( separates points ).
We call the pair a normed vector space with norm
-
1.
- Definition, Concept Graph de
Let be a set, then we call a function a distance function (or metric ) on , iff for all the following three identities hold:
-
1.
iff ( identity of indiscernibles ),
-
2.
( symmetry ), and
-
3.
( triangle inequality ).
We call a metric space with base set and metric .
-
1.
- Definition, Concept Graph de
A group is called trivial if is the singleton set . As all trivial groups are isomorphic we speak of the trivial group .
- Definition, Concept Graph
The integers , , and are known as the trivial divisors of . A divisor of that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor .
- Definition, Concept Graph de
A group is called trivial if is the singleton set . As all trivial groups are isomorphic we speak of the trivial group .
- Definition, Concept Graph de
A two-sided prime is both left-truncatable and right-truncatable.
For example:
- Definition, Concept Graph de
Uban numbers are defined as numbers whose English names do not contain the letter โuโ (i.e., โuโ is banned). The first numbers are
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 The Ulam numbers form an integer sequence . The standard Ulam sequence starts with and . Then for , is defined to be the smallest integer that is the sum of two distinct earlier terms in exactly one way.
The first numbers are
- Definition, Concept Graph de
An ultramagic square is a magic square that is both a panmagic square and an associative magic square .
- Definition, Concept Graph zhs
We call a partial function undefined at (write ), iff for all .
Spunem ca o functie partiala este nedefinita in (scris ca ), daca si numai daca pentru oricare ar fi .
We call a partial function undefined at (write ), iff for all .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr ro de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Let and be sets, then the union of and is defined as .
- Definition, Concept Graph
A unique factorization domain is a commutative ring in which every non- zero non- unit element can be written as a product of prime elements, uniquely up to order and units .
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 0 is called a loop , if is a quasigroup , and there is an called unit (or identity ), such that and .
- Definition, Concept Graph de
A unit fraction is a rational number written as a fraction where the numerator is one and the denominator is a positive integer .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The unnormalized sinc function is a function defined by
- Definition, Concept Graph de
Let be a proset and , then we call an upper bound of , iff for all and an lower bound , iff for all .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 Let be a metric space and a sequence with for all , then the
-
โข
limit superior (also called supremum limit , superior limit , upper limit , or outer limit ) (also written as ) is defined as
-
โข
limit inferior (also called infimum limit , inferior limit , lower limit , or inner limit ) (also written as ) is defined as
-
โข
- Definition, Concept Graph de
The degree (or valency ) of a vertex is the number of edges at , this equal to the number of neighbours of . A vertex of degree is called isolated vertex . The number is the minimum degree of , the number is the maximum degree of . The number is the average degree of .
- Definition, Concept Graph
A variable is an alphabetic character representing a number, called the value of the variable, which is either arbitrary or not fully specified or unknown.
- Definition, Concept Graph
A variable is an alphabetic character representing a number, called the value of the variable, which is either arbitrary or not fully specified or unknown.
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 0 Let be an -dimensional vector space and be a basis of , we then define the vector product of the vectors as
- Definition, Concept Graph de
A directed graph (also called digraph or oriented graph ) is a pair such that is a set and . We call the vertices (or nodes ) and the edges of .
- Definition, Concept Graph de
A graph is a pair such that is a set and is a subset of the set of pairs from . We call the vertices (or nodes , point s, junctions ) and the edges (or lines , branches , arcs ) of .
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 The von Mangoldt function is defined as
- Definition, Concept Graph de
A Wagstaff prime is a prime number of the form
where is another prime .
- Definition, Concept Graph de
A prime is called a Wall-Sun-Sun prime or Fibonacci-Wieferich prime if divides the Fibonacci number , where the Legendre symbol is
A prime number is a Wall-Sun-Sun prime if , where is the -th Lucas number .
- Definition, Concept Graph
We say that an abstract reduction system
-
โข
has the diamond property (or is strongly confluent ), iff for every with there is a with and .
-
โข
is confluent , iff for every with there is a with and .
-
โข
weakly confluent iff for every with there is a with and .
diamond confluent weakly property confluent [yscale=.7,xscale=.7] โnode(a) at (1,2) a; โnode(b) at (0,1) b; โnode(c) at (2,1) c; โnode(d) at (1,0) d; โdraw[-ยฟ] (a) โ (b); โdraw[-ยฟ] (a) โ (c); โdraw[-ยฟ] (b) โ (d); โdraw[-ยฟ] (c) โ (d); [yscale=.7,xscale=.7] โnode(a) at (1,2) a; โnode(b) at (0,1) b; โnode(c) at (2,1) c; โnode(d) at (1,0) d; โdraw[-ยฟ] (a) โ node [left,near end] * (b); โdraw[-ยฟ] (a) โ node [right,near end] * (c); โdraw[-ยฟ] (b) โ node [left,at end] * (d); โdraw[-ยฟ] (c) โ node [right,at end] * (d); [yscale=.7,xscale=.7] โnode(a) at (1,2) a; โnode(b) at (0,1) b; โnode(c) at (2,1) c; โnode(d) at (1,0) d; โdraw[-ยฟ] (a) โ (b); โdraw[-ยฟ] (a) โ (c); โdraw[-ยฟ] (b) โ node [left,at end] * (d); โdraw[-ยฟ] (c) โ node [right,at end] * (d); -
โข
- Definition, Concept Graph de
A prime number is called weakly prime if it becomes composite when any one of its digits is changed to every single other digit .
- Definition, Concept Graph de
A Wilson number is an integer such that where denotes the Wilson quotient .
- Definition, Concept Graph de
A prime is called a Wolstenholme prime iff the following condition holds:
- Definition, Notations, Concept Graph de
Languages Arguments Rendering mathml 1 A Woodall number is a number of the form for some natural numbers .
Woodall numbers are sometimes called Cullen numbers of the second kind .
Woodall numbers that are also prime numbers are called Woodall primes .
- Definition, Concept Graph de
A Woodall number is a number of the form for some natural numbers .
Woodall numbers are sometimes called Cullen numbers of the second kind .
Woodall numbers that are also prime numbers are called Woodall primes .
- Definition, Concept Graph de
Let be an alphabet, then we define the sets of nonempty words ( nonempty strings ) and of words ( strings ).
An alphabet is a finite set; we call each element a character , and an -tuple of a word (or string ) of over . We will often write a string as or even as . We write the empty word ( empty string ) in with .
- Definition, Concept Graph de
Let be an alphabet, then we define the sets of nonempty words ( nonempty strings ) and of words ( strings ).
An alphabet is a finite set; we call each element a character , and an -tuple of a word (or string ) of over . We will often write a string as or even as . We write the empty word ( empty string ) in with .
- Definition, Concept Graph de
A Zeisel number is a square-free integer with at least three prime factors which fall into the pattern
where and are some integer constants and is the index number of each prime factor in the factorization , sorted from lowest to highest and .
For example: is a Zeisel number with and , because
- Definition, Concept Graph de
Let be a field , its additive unit, and for a set , then we call any a zero of .
- Definition, Concept Graph de
Two non- zero elements and of a ring are called a left zero divisor and a right zero divisor respectively, if . An element that is a left or a right zero divisor is simply called a zero divisor .
- Definition, Concept Graph de
An integer whose decimal digits digit no zeros is said to be zerofree .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs ro
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 kรผmesi, kรผmesinin alt kรผmesidir ( olarak yazฤฑlฤฑr), eฤer her bir โnin de elemanฤฑ ise.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs ro en de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 ve iki kรผme olsun. Bu durumda, ve โnin birleลim i , olarak tanฤฑmlanฤฑr.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs en de
Languages Arguments Rendering mathml 0 mathml 0 Boล kรผme ( olarak da yazฤฑlฤฑr) hiรง elemanฤฑ olmayan kย umedir.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs ro
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 kรผmesi, kรผmesinin bir dรผzgรผn alt kรผme sidir ( olarak yazฤฑlฤฑr), eฤer ise.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs ro
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 kรผmesi, kรผmesinin dรผzgรผn alt kรผme sidir ( olarak yazฤฑlฤฑr), eฤer ise ama ise.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs ro
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 ฤฐki kรผme ve eลit tir ( olarak yazฤฑlฤฑr), eฤer her ikisi de aynฤฑ elemanlara sahip iseler.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs ro en de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 mathml 0 ve iki kรผme olsun. Bu durumda, ve โnin fark kรผmesi dir.
- Definition, Concept Graph zhs en de
Bir mรผmeler ailesi รงift olarak ayrฤฑk ya da karลฤฑlฤฑklฤฑ olarak ayrฤฑk dฤฑr, eฤer herhangi iki tanesi ayrฤฑk ise.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs en de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 ve iki kรผme olsun. Bu durumda, ve โnin TTL: kesiลim i , dir.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs ro
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 ve iki kรผme olsun. Bu durumda, ve รงift i , olarak tanฤฑmlanฤฑr, โya bir รงift denir.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs ro
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 mathml 0 mathml 0 ve iki kรผme olsun. Bu durumda, ve รงift i , olarak tanฤฑmlanฤฑr, โya bir รงift denir.
- Definition, Concept Graph zhs en de
Bir mรผmeler ailesi รงift olarak ayrฤฑk ya da karลฤฑlฤฑklฤฑ olarak ayrฤฑk dฤฑr, eฤer herhangi iki tanesi ayrฤฑk ise.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs ro en de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 bir kรผme olsun. Bu durumda, โnin รผssรผkรผmesi , dir.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs ro
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 kรผmesi, kรผmesinin bir รผst kรผme sidir ( olarak yazฤฑlฤฑr), eฤer ise.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Eulersche Zahl (benannt nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler) ist eine mathematische Konstante.
- Definition, Concept Graph en
Eine Folge von Zahlen ist -additiv , wenn jede Zahl der Folge, nach den Anfangsgliedern, auf genau Arten als Summe zweier vorheriger Zahlen der Folge dargestellt werden kann.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Wir schreiben die -fache Verkettung der Relation als und definieren sie als und .
- Definition, Concept Graph en
Eine glatte Zahl bezรผglich einer Schranke ist eine natรผrliche Zahl , in deren Primfaktorzerlegung keine Primzahlen vorkommen, die grรถรer als die Schranke sind. Man bezeichnet eine solche Zahl auch als -glatt .
- Definition, Concept Graph en
Wir nennen eine Formel eine alphabetische Variante von (oder -gleich ; schreibe ), wenn aus hervorgeht durch systematische Umbenennung gebundener Variablen.
- Definition, Concept Graph en
Eine Zahl ist eine multiperfekte Zahl oder -perfekt fรผr eine gegebene natรผrliche Zahl , genau dann, wenn die Summe aller ihrer positiven Teiler betrรคgt.
- Definition, Concept Graph en
Eine -potente Zahl ist eine natรผrliche Zahl , so dass fรผr jeden Primteiler von auch Teiler von ist.
- Definition, Concept Graph en
Eine natรผrliche Zahl heiรt -potenzglatt bezรผglich einer Schranke , wenn in ihrer Primfaktorzerlegung nur Primpotenzen kleiner oder gleich vorkommen. Das heiรt, fรผr jeden Primfaktor , der mal vorkommt, gilt: .
- Definition, Concept Graph en
Wenn in einem Graph alle Ecken denselben Grad aufweisen, sagen wir , dann nennt man -regulรคr , oder schlicht regulรคr .
- Definition, Concept Graph en
Eine -rough-Zahl ist eine positive ganze Zahl , deren Primfaktoren alle grรถรer oder gleich sind.
- Definition, Concept Graph en
Ein -Simplex ist ein -dimensionales Polytop das als die konvexe Hรผlle von affin unabhรคngigen Punkten in gegeben ist.
- Definition, Concept Graph en
Die -Ulam-Zahlen bilden eine ganzzahlige Folge . Die -Ulam-Folge beginnt mit und . Fรผr wird dann definiert als die kleinste ganze Zahl, die sich auf genau eine Weise als Summe zweier verschiedener vorhergehender Ulam-Zahlen darstellen lรคsst.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die -Ulam-Zahlen bilden eine ganzzahlige Folge . Die -Ulam-Folge beginnt mit und . Fรผr wird dann definiert als die kleinste ganze Zahl, die sich auf genau eine Weise als Summe zweier verschiedener vorhergehender Ulam-Zahlen darstellen lรคsst.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 Die [ Determinante] einer Matrix ist definiert als
wobei die symmetrische Grupe der Menge mit Elementen ist und die Signature von .
- Definition, Concept Graph en
Aban-Zahlen sind ganze Zahlen , deren englischer Name nicht den Buchstaben โaโ enthรคlt (d.h., โaโ ist verbannt). Die ersten Zahlen sind , und .
- Definition, Concept Graph en
Eine Grruppe , deren Operation kommutativ , ist heiรt kommutative Gruppe oder Abelsche Gruppe .
- Definition, Concept Graph en
Ein Monoid , dessen Operation kommutativ ist, heiรt kommutatives Monoid oder (seltener) Abelsches Monoid .
- Definition, Concept Graph zhs en
Ist eine Menge , so nennen wir einen Kuratowski Abschlussoperator (oder einfach Abschlussoperator ), falls die folgenden Bedingungen erfรผllt:
-
1.
( Erhaltung nullรคrer Vereinigung )
-
2.
fรผr jede Teilmenge ( Extensivitรคt )
-
3.
( Erhaltung binรคrer Vereinigungen )
-
4.
fรผr jedes ( Idempotenz )
Ohne das Idempotenz-Axiom, sprechen wir von einem Prรค-Abschlussoperator .
Wir nennen abgeschlossen , wenn .
-
1.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 Wir nennen differenzierbar an einem Hรคufungspunkt , falls der Grenzwert
existiert. Dieser Grenzwert heiรt Ableitung von nach an der Stelle . Wir nennen differenzierbar auf , falls differenzierbar an jedem ist.
- Definition, Concept Graph en
Ist differenzierbar auf , so definieren wir die Ableitungsfunktion von nach als
Die Abhรคngigkeit von ist bleibt dieser Notation ( Lagrange Notation ) implizit. In Leibniz Notation schreiben wir die Ableitungsfunktion von nach als . In Eulers Notation schreiben wir und in Newton notation .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 Die Abrundung (oder der ganze Teil ) einer reellen Zahl ist die grรถรte ganze Zahl, die nicht grรถรer ist als . Die Aufrundungsfunktion wird auch die Gaussklammer genannt; dann wird sie als geschrieben.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Ist eine Menge , so nennen wir einen Kuratowski Abschlussoperator (oder einfach Abschlussoperator ), falls die folgenden Bedingungen erfรผllt:
-
1.
( Erhaltung nullรคrer Vereinigung )
-
2.
fรผr jede Teilmenge ( Extensivitรคt )
-
3.
( Erhaltung binรคrer Vereinigungen )
-
4.
fรผr jedes ( Idempotenz )
Ohne das Idempotenz-Axiom, sprechen wir von einem Prรค-Abschlussoperator .
Wir nennen abgeschlossen , wenn .
-
1.
- Definition, Concept Graph en
Eine reelle Zahl ist absolut nicht-normal oder absolut unnormal , wenn sie in keiner Basis einfach normal ist.
- Definition, Concept Graph en
Eine reelle Zahl ist absolut nicht-normal oder absolut unnormal , wenn sie in keiner Basis einfach normal ist.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Der Absolutbetrag einer reellen Zahl ist definiert als .
- Definition, Concept Graph en
Ist in Vektorraum รผber einem Subkรถrper der komplexen Zahlen, so nennen wir eine Funktion eine Norm auf , wenn fรผr alle und
-
1.
( absolute Homogenitรคt ).
-
2.
( Dreiecksungleichung ).
-
3.
If , then is the zero vector ( Definitheit ).
Wir nennen das Paar einen normierten Vektorraum .
-
1.
- Definition, Concept Graph en
Fรผr eine Mente nennen wir eine Funktion eine Abstandsfunktion (or Metrik ) auf , falls die folgenden drei Eigenschaften fรผr alle gelten:
-
1.
gdw. ( Definitheit ),
-
2.
( Symmetrie ) und
-
3.
( Dreiecksungleichung ).
Wir nennen einen metrischen Raum mit Grundmenge und Metrik .
-
1.
- Definition, Concept Graph en
Die Abundancy einer ganzen Zahl ist das Verhรคltnis . Dabei ist die Teilersummenfunktion .
- Definition, Concept Graph en
Eine natรผrliche Zahl heiรt abundant , wenn ihre echte Teilersumme (die Summe aller Teiler ohne die Zahl selbst) grรถรer ist, als die Zahl selbst.
- Definition, Concept Graph zhs en
Wir nennen eine Menge abzรคhlbar , wenn es eine bijektive Function mit gibt.
- Definition, Concept Graph zhs en
Wir nennen eine Menge abzรคhlbar unendlich , wenn es eine bijektive Function gibt.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die achte Smarandache-Konstante ist fรผr eine natรผrliche Zahl definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion .
Die Summe konvergiert .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die Addition und Summe werden auf die ganzen Zahlen erweitert:
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Addition berechnet die Summe von und . Wir definieren und , wobei die Nachfolgerfunktion ist.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Addition berechnet die Summe von Zahl en und .
- Definition, Concept Graph en
Zwei Ecken und in einem Graph sind adjazent , oder Nachbar n, wenn eine Kante von ist.
Zwei Kanten sind adjazent , wenn sie ein Ende gemeinsam haben.
- Definition, Concept Graph en
Wir nennen ein Element in einem Kรถrper , algebraisch , falls eine Wurzel eines von Null verschiedenem Polynomis mit Koeffizienten in ist.
- Definition, Concept Graph en
Eine Aliquot-Folge startet mit einer positiven ganzen Zahl . Jedes weitere Glied ist die Summe der echten Teiler des vorhergehenden Gliedes.
- Definition, Concept Graph en
Ein (Sprachen abhรคngiges) alpha-magisches Quadrat ist ein magisches Quadrat in dem die Anzahl der Buchstaben der Namen der eingetragenen Zahlen ein neues magisches Quadrat bilden.
- Definition, Concept Graph en
Ein Alphabet ist eine endliche Menge; wir nenn jedes Element einen Buchstaben und ein -Tupel ein Wort (oder Zeichenkette ) รผber . Wir schreiben ein Wort als oder sogar und das leere Wort ( leere Zeichenkette ) in als .
- Definition, Concept Graph en
Wir nennen eine Formel eine alphabetische Variante von (oder -gleich ; schreibe ), wenn aus hervorgeht durch systematische Umbenennung gebundener Variablen.
- Definition, Concept Graph en
Sei . Eine Funktion heiรt analytisch wenn eine Taylor Entwicklung um jeden Punkt hat, die in einer offenen Umgebung von punktweise gegen konvergiert.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Wir nennen zwei mathematische Objekte and annรคhrend gleich , (schreibe ), wenn die einzigen Eigenschaften, die sie auseinanderhalten, weniger relevant sind in der aktuellen Situation.
- Definition, Concept Graph en
Ein Antimagisches Quadrat der Ordnung ist eine Anordnung der Zahlen bis in einem Quadrat, so dass die Summen der Zeilen, der Spalten und der zwei Diagonalen eine Folge von aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen bilden.
- Definition, Concept Graph en
Eine zahlentheoretische oder arithmetische Funktion ist eine Funktion , die jeder positiven natรผrlichen Zahl einen Funktionswert aus den reellen oder komplexen Zahlen zuordnet.
Diese Funktionen dienen in der Zahlentheorie dazu, Eigenschaften von natรผrlichen Zahlen , besonders deren Teilbarkeit zu beschreiben und zu untersuchen. Die Identische Funktion wird mit bezeichnet:
Folgende Symbole werden verwendet fรผr die Summe oder das Produkt
รผber alle Primzahlen รผber alle Primzahlpotenzen รผber alle Teiler von รผber alle Primteiler von รผber alle Primzahlpotenzen , die Teiler von sind - Definition, Concept Graph en
Wenn in einem Graph Teilmengen und gibt und wenn jeder โ-Weg eine Ecke oder eine Kante aus enthรคlt, so trennt die Mengen und in und ist ein โ-Trenner. Es gilt dann insbesondere . Allgemeiner trennt den Graphen , wenn in zwei Ecken aus trennt. Eine Ecke, die zwei andere Ecken derEcken der gleichen Komponente trennt, heit Artikulation Eine Kante heiรt Brรผcke wenn sie ihre Endecken trennt. Dies ist offenbar genau dann der Fall wenn sie auf keinem Kreis liegt.
- Definition, Concept Graph en
Ein assoziatives magisches Quadrat oder symmetrisches magisches Quadrat ist ein magisches Quadrat , bei dem die Summen zweier Elemente, die symmetrisch zum Mittelpunkt liegen, gleich sind.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Eine Teilmenge der positiven ganzen Zahlen hat eine asymptotische Dichte (oder natรผrliche Dichte ) , wobei gilt, wenn der Grenzwert existiert
ist die Anzahl der Elemente von , die nicht grรถรer als sind.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 Die Aufrundung einer reellen Zahl ist die kleinste ganze Zahl, die nicht kleiner ist als .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Sind ein gerichteter Graph und ein Knoten in , dann definieren wir
-
โข
den Eingangsgrad von in als
-
โข
Ausgangsgrad von in als
-
โข
- Definition, Concept Graph en
Die Bailey-Borwein-Plouffe-Formel ( BBP-Formel ) ist eine Reihe zur Berechnung von :
- Definition, Concept Graph en
Eine Balance-Primzahl ist eine Primzahl , die gleich dem arithmetischen Mittel der nรคchstkleineren und der nรคchstgrรถรeren Primzahl ist.
Dabei ist die -te Primzahl.
- Definition, Concept Graph en
Ein Banachraum ist ein normierter Vektorraum der vollstรคndig ist bezรผglich der von seiner Norm induzierten Metrik.
- Definition, Concept Graph en
Eine reelle Zahl wird Barriere einer zahlentheoretischen Funktion genant, wenn fรผr alle .
- Definition, Concept Graph en
Ein Stellenwertsystem (auch Positionssystem oder polyadisches Zahlensystem genannt) ist ein Nummernsystem , bei dem die Wertigkeit einer Ziffer (auch Zahlzeichen ) von der Stelle abhรคngt.
Ein Stellenwertsystem fรผr einen for a Zahlenbereich ist durch ein Paar gegeben, wobei eine endlich e Menge von Ziffer n (wir nennen die Basis oder Grundzahl von ) und einer eine injective Abbildung von nach ist.
Die -adische Notation erweitert zu einer bijektiven Abbildung von endlichen Folgen รผber nach mittels der Arithmetik von . Eine endliche Folge wird als eine Summe der sukzessiven Potenzen multipliziert mit . Die Details variieren mit .
- Definition, Concept Graph en
Exponentiation erhebt eine ganze Zahl (die Basis ) zur -thn Potenz ( heiรt der Exponent ). Wir definieren:
- Definition, Concept Graph en
Exponentiation erhebt ein (die Basis ) zur -ten Potenz ( heiรt der Exponent ). Wir definieren
- Definition, Concept Graph en
Exponentiation erhebt eine natรผrliche Zahl (die Basis ) zur -ten Potenz ( heiรt der Exponent ). Wir definieren und .
- Definition, Concept Graph en
Exponentiation erhebt eine Zahl (die Basis ) zur -ten Potenz ( heiรt der Exponent ).
- Definition, Concept Graph en
Der Logarithmus zur Basis einer reellen Zahl ist diejenige reelle Zahl mit . Die Logarithmus-Funktion ist die Inverse der Exponentialfunktion.
- Definition, Concept Graph en
Die Baxter-Hickerson-Funktion ist fรผr nicht-negative ganze Zahlen definiert als
Sie erzeugt Zahlen, deren Kuben nicht die Ziffer enthalten.
- Definition, Concept Graph en
Die Bailey-Borwein-Plouffe-Formel ( BBP-Formel ) ist eine Reihe zur Berechnung von :
- Definition, Concept Graph en
Befreundete Zahlen sind ein Paar natรผrlicher Zahlen , deren Summen ihrer Teiler (auรer den Zahlen selbst) jeweils die andere Zahl ergibt.
- Definition, Concept Graph en
Die Anzahl der notwendigen Schritte, um durch wiederholte Querprodukte zu einer einstelligen Zahl zu gelangen, nennt man Beharrlichkeit der Zahl.
- Definition, Concept Graph en
Beidseitig trunkierbare Primzahlen sind sowohl links- als auch rechtstrunkierbare Primzahlen.
Zum Beispiel:
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die -te Beraha-Konstante ist definiert als
- Definition, Notations, Concept Graph zhs en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Ist eine Funktion und , so nennen wir die Beschrรคnkung von auf .
- Definition, Concept Graph en
Sei ein Integritรคtsring . Eine Funktion heiรt Bewertungsfunktion auf , wenn sie die folgende Bedingung erfรผllt:
Sind mit , dann gibt es so dass mit oder .
Ein Euclidischer Ring ist nun ein Integritรคtsbereich mit (mindestens) einer Bewertungsfunktion .
- Definition, Concept Graph zhs en
Eine Funktion heiรt bijektiv (oder eine Bijektion ), wenn injektiv and surjektiv ist.
- Definition, Concept Graph en
Eine Struktur aus einer Menge (die Grundmenge ) und einer binรคren Funktion (die innere Verknรผpfung ) heiรt Magma (auch Gruppoid , Binar , oder Operativ ).
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 Der Binomialkoeffizient ist definiert als die Anzahl der -elementigen Teilmengen einer -elementigen Menge.
- Definition, Concept Graph en
Eine natรผrliche Zahl ist eine Blum-Zahl , wenn eine Fastprimzahl ist, wobei und verschiedene Primzahlen sind, die kongruent zu modulo sind.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Summe der Kehrwerte aller Primzahlzwillinge konvergiert. Den Grenzwert bezeichnet man als Brunsche Konstante .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Summe der Kehrwerte aller Primzahlvierlinge konvergiert. Den Grenzwert bezeichnet man als Brunsche Konstante fรผr Primzahlvierlinge .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Summe der Kehrwerte aller Cousin-Primzahlen konvergiert. Den Grenzwert bezeichnet man als Brunsche Konstante fรผr Cousin-Primzahlen .
- Definition, Concept Graph en
Wenn in einem Graph Teilmengen und gibt und wenn jeder โ-Weg eine Ecke oder eine Kante aus enthรคlt, so trennt die Mengen und in und ist ein โ-Trenner. Es gilt dann insbesondere . Allgemeiner trennt den Graphen , wenn in zwei Ecken aus trennt. Eine Ecke, die zwei andere Ecken derEcken der gleichen Komponente trennt, heit Artikulation Eine Kante heiรt Brรผcke wenn sie ihre Endecken trennt. Dies ist offenbar genau dann der Fall wenn sie auf keinem Kreis liegt.
- Definition, Concept Graph en
Ein Alphabet ist eine endliche Menge; wir nenn jedes Element einen Buchstaben und ein -Tupel ein Wort (oder Zeichenkette ) รผber . Wir schreiben ein Wort als oder sogar und das leere Wort ( leere Zeichenkette ) in als .
- Definition, Concept Graph en
Ein gerichteter Graph (auch Digraph ) ist ein Paar aus einer Menge und einer Menge geordneter Paare รผber . Wir nennen die Knoten und die Kanten (auch Bรถgen ) von .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die -te Cabtaxi-Zahl ist definiert als die kleinste positive ganze Zahl , die auf verschiedene Arten als Summe oder Differenz zweier Kubikzahlen (einschlieรlich ) dargestellt werden kann.
Zum Beispiel:
- Definition, Concept Graph en
Sei die Sylvester-Folge .
Die Cahen-Konstante ist ein รคgyptischer Bruch , gebildet aus einer unendlichen Reihe von Stammbrรผchen , deren Nenner die geradzahligen Elemente der Sylvester-Folge sind:
Wir haben also
und damit
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Sei die Sylvester-Folge .
Die Cahen-Konstante i st eine unendliche Reihe von Stammbrรผchen mit alternierenden Vorzeichen
- Definition, Concept Graph en
Eine zusammengesetzte natรผrliche Zahl heiรt Carmichael-Zahl , falls fรผr alle zu teilerfremden Zahlen die folgende Kongruenz erfรผllt ist:
Eine natรผrliche Zahl heiรt Carmichael-Zahl , wenn sie eine fermatsche Pseudoprimzahl bezรผglich aller zu ihr teilerfremden Basen ist.
- Definition, Concept Graph en
Eine Carol-Zahl ist eine ganze Zahl der Form
mit der positiven ganzen Zahl .
- Definition, Concept Graph en
Die Cassini-Identitรคt ist eine Identitรคt fรผr ganze Zahlen und die Fibonacci-Zahlen .
- Definition, Concept Graph en
Die Catalan-Identitรคt ist eine Identitรคt fรผr ganze Zahlen , und die Fibonacci-Zahlen .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die Catalan-Mersenne-Zahlen sind Mersenne-Zahlen , der Form .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die Catalan-Zahlen bilden eine Folge von natรผrlichen Zahlen , die wie folgt definiert ist
fรผr .
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Champerowne-Zahl ist eine normale Zahl der Basis .
Sie wird durch das Aneinanderreihen der natรผrlichen Zahlen gebildet.
Champernowne-Zahlen kรถnnen auch in anderen Basen konstruiert werden.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die Pell-Lucas-Zahlen , auch Pell-Zahlen 2. Art oder Companion Pell-Zahlen werden rekursiv definiert:
- Definition, Concept Graph en
Die Copeland-Erdรถs-Zahl ist eine normale Zahl zur Basis . Sie wird durch die Aneinanderreihung der Primzahlen gebildet.
Sei die -te Primzahl. Dann erhรคlt man fรผr die Copeland-Erdรถs-Zahl
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Eine Cullen-Zahl ist eine natรผrliche Zahl der Form .
- Definition, Concept Graph
Eine Woodall-Zahl ist eine natรผrliche Zahl der Form mit einer natรผrlichen Zahl . Woodall-Zahlen werden manchmal auch als Cullen-Zahlen der zweiten Art bezeichnet.
Woodall-Zahlen die Primzahlen sind werden als Woodall-Primzahlen bezeichnet.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Gegeben eine Basis , eine Menge von Ziffer n und eine Bijektion , dann ist die Darstellung einer Zahl zur Basis die endliche Folge , falls .
Wir nennen die te Ziffer von (zur Basis ) und schreiben .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Gegeben eine Basis , eine Menge von Ziffer n und eine Bijektion , dann ist die Darstellung einer Zahl zur Basis gegeben durch die endliche Folge zusammen mit der unendlichen Folge (wir schreiben sie durch ein Komma oder einen Punkt getrennt), falls
- Definition, Concept Graph en
Wir nennen ein Paar eine a definitionale Gleichung mit Definiendum und Definiens , wenn ein neues Symbol ist, das nicht in vorkommt.
- Definition, Concept Graph en
Wir nennen ein Paar eine a definitionale Gleichung mit Definiendum und Definiens , wenn ein neues Symbol ist, das nicht in vorkommt.
- Definition, Concept Graph en
Ist in Vektorraum รผber einem Subkรถrper der komplexen Zahlen, so nennen wir eine Funktion eine Norm auf , wenn fรผr alle und
-
1.
( absolute Homogenitรคt ).
-
2.
( Dreiecksungleichung ).
-
3.
If , then is the zero vector ( Definitheit ).
Wir nennen das Paar einen normierten Vektorraum .
-
1.
- Definition, Concept Graph en
Fรผr eine Mente nennen wir eine Funktion eine Abstandsfunktion (or Metrik ) auf , falls die folgenden drei Eigenschaften fรผr alle gelten:
-
1.
gdw. ( Definitheit ),
-
2.
( Symmetrie ) und
-
3.
( Dreiecksungleichung ).
Wir nennen einen metrischen Raum mit Grundmenge und Metrik .
-
1.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 Wir nennen ein Paar eine a definitionale Gleichung mit Definiendum und Definiens , wenn ein neues Symbol ist, das nicht in vorkommt.
- Definition, Concept Graph en
Eine natรผrliche Zahl heiรt defizient , wenn ihre echte Teilersumme (die Summe aller Teiler ohne die Zahl selbst) kleiner ist als die Zahl selbst.
Ist die Teilersumme dagegen gleich der Zahl, spricht man von einer vollkommenen Zahl , ist sie grรถรer, so spricht man von einer abundanten Zahl .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 Der dekadische Logarithmus (oder Zehnerlogarithmus ) ist der Logarithmus zur Basis 10.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 Eine Delannoy-Zahl ist die Anzahl der Wege von der sรผdwest-Ecke eines rechteckigen Gitters zur nordost-Ecke , unter Verwendung von Einzelschritten in Richtung Nord, Nordost oder Ost.
Es folgt und
fรผr alle .
- Definition, Concept Graph en
Eine Selbst-Zahl , Kolumbianische Zahl oder Devlali-Zahl ist eine positive ganze Zahl , die in einer gegebenen Zahlenbasis nicht erzeugt werden kann, indem man zu einer anderen positiven ganzen Zahl die Quersumme dieser anderen Zahl addiert.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr ro en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 mathml 0 Die Differenz von Mengen und ist definiert als .
Wir nennen auch das relative Komplement oder einfach das Komplement von in . Ist klar aus dem Kontext schreiben wir auch fรผr das Komplement von in .
- Definition, Concept Graph en
Subtraktion berechnet die Differenz und . Sie ist definiert als dasjenige โ wenn es existiert, so dass .
- Definition, Concept Graph en
Subtraktion berechnet die Differenz Zahl en und . Sie ist definiert als diejenige Zahl โ wenn sie existiert, so dass .
- Definition, Concept Graph en
Wir nennen differenzierbar an einem Hรคufungspunkt , falls der Grenzwert
existiert. Dieser Grenzwert heiรt Ableitung von nach an der Stelle . Wir nennen differenzierbar auf , falls differenzierbar an jedem ist.
- Definition, Concept Graph en
Wir nennen differenzierbar an einem Hรคufungspunkt , falls der Grenzwert
existiert. Dieser Grenzwert heiรt Ableitung von nach an der Stelle . Wir nennen differenzierbar auf , falls differenzierbar an jedem ist.
- Definition, Concept Graph
Ein gerichteter Graph (auch Digraph ) ist ein Paar aus einer Menge und einer Menge geordneter Paare รผber . Wir nennen die Knoten und die Kanten (auch Bรถgen ) von .
- Definition, Concept Graph en
Eine Diophantische Gleichung ist eine Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten, deren Variablen nur ganzzahlige Werte annehmen dรผrfen.
- Definition, Concept Graph en
Ist eine Menge, so ist mit
eine Abstrandsfunktion . Wir nennen sie die diskrete Metrik auf und den diskreten metrischen Raum .
- Definition, Concept Graph en
Ist eine Menge , so ist eine Topologie auf , wir nennen sie die diskrete Topologie und den diskreten topologischen Raum .
- Definition, Concept Graph en
Ist eine Menge, so ist mit
eine Abstrandsfunktion . Wir nennen sie die diskrete Metrik auf und den diskreten metrischen Raum .
- Definition, Concept Graph en
Ist eine Menge , so ist eine Topologie auf , wir nennen sie die diskrete Topologie und den diskreten topologischen Raum .
- Definition, Concept Graph en
Ein Ringoid ist eine Struktur in der die Verknรผpfungen distributiv sind, also und fรผr alle .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 mathml 0 Division berechnet den Quotient von und . Auf definieren wir .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 mathml 0 Division berechnet den Quotienten von Zahl en und . Er ist definiert als diejenige Zahl โ falls sie existiert, so dass .
- Definition, Concept Graph en
Eine Doppel-Mersenne-Primzahl ist eine Doppel-Mersenne-Zahl , die auch Primzahl ist.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Eine Doppel-Mersenne-Zahl ist eine Mersenne-Zahl der Form
Dabei ist der Exponent einer Mersenne-Primzahl .
- Definition, Concept Graph en
Ist in Vektorraum รผber einem Subkรถrper der komplexen Zahlen, so nennen wir eine Funktion eine Norm auf , wenn fรผr alle und
-
1.
( absolute Homogenitรคt ).
-
2.
( Dreiecksungleichung ).
-
3.
If , then is the zero vector ( Definitheit ).
Wir nennen das Paar einen normierten Vektorraum .
-
1.
- Definition, Concept Graph en
Fรผr eine Mente nennen wir eine Funktion eine Abstandsfunktion (or Metrik ) auf , falls die folgenden drei Eigenschaften fรผr alle gelten:
-
1.
gdw. ( Definitheit ),
-
2.
( Symmetrie ) und
-
3.
( Dreiecksungleichung ).
Wir nennen einen metrischen Raum mit Grundmenge und Metrik .
-
1.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die dreizehnte Smarandache-Konstante ist definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion .
Die Summe konvergiert .
- Definition, Concept Graph
Fรผr ein definieren wir die te Ableitung einer Funktion durch
Die erste Ableitung von ist , ist die zweite Ableitung von , die dritte Ableitung von , usw. In der Leibniz Notation wird die te Ableiguntsfunktion von als geschrieben.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die dritte Smarandache-Konstante ist definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Sind und Mengen , so ist der Durchschnitt von und gegeben als .
- Definition, Concept Graph en
Der Grad (oder die Valenz ) einer Ecke ist die Anzahl der mit inzidenten Kanten, dies ist auch die Anzahl der Nachbarn von . Die Zahl heiรt Minimalgrad von , und ist sein Maximalgrad . Die Zahl nennt man den Durchschnittsgrad von .
- Definition, Concept Graph en
Eban-Zahlen sind ganze Zahlen , deren englischer Name nicht den Buchstaben โeโ enthรคlt (d.h., โeโ ist verbannt). Die ersten Zahlen sind
- Definition, Concept Graph en
Ist in Alphabet , so sagen wir dass ein Wort ein Teilwort ( Teilkette ) eines Wortes (schreibe ), falls es Worte gibt, so dass . Ist oder , so nennen wir ein echtes Teilwort ( echte Teilkette ) von und schreiben .
Ist , so nennen wir einen Prรคfix von und schreiben , ist ausserdem so ist ein echter Prรคfix von und wir schreiben . Analog gilt: ist , so nenne wir einen Suffix von , ist ausserdem echter Suffix von .
- Definition, Concept Graph en
Ist keiner der trivialen Teiler , , und , so nennt man einen echten oder nichttrivialen Teiler von .
- Definition, Concept Graph en
Ist in Alphabet , so sagen wir dass ein Wort ein Teilwort ( Teilkette ) eines Wortes (schreibe ), falls es Worte gibt, so dass . Ist oder , so nennen wir ein echtes Teilwort ( echte Teilkette ) von und schreiben .
Ist , so nennen wir einen Prรคfix von und schreiben , ist ausserdem so ist ein echter Prรคfix von und wir schreiben . Analog gilt: ist , so nenne wir einen Suffix von , ist ausserdem echter Suffix von .
- Definition, Concept Graph en
Ist in Alphabet , so sagen wir dass ein Wort ein Teilwort ( Teilkette ) eines Wortes (schreibe ), falls es Worte gibt, so dass . Ist oder , so nennen wir ein echtes Teilwort ( echte Teilkette ) von und schreiben .
Ist , so nennen wir einen Prรคfix von und schreiben , ist ausserdem so ist ein echter Prรคfix von und wir schreiben . Analog gilt: ist , so nenne wir einen Suffix von , ist ausserdem echter Suffix von .
- Definition, Concept Graph en
Ist in Alphabet , so sagen wir dass ein Wort ein Teilwort ( Teilkette ) eines Wortes (schreibe ), falls es Worte gibt, so dass . Ist oder , so nennen wir ein echtes Teilwort ( echte Teilkette ) von und schreiben .
Ist , so nennen wir einen Prรคfix von und schreiben , ist ausserdem so ist ein echter Prรคfix von und wir schreiben . Analog gilt: ist , so nenne wir einen Suffix von , ist ausserdem echter Suffix von .
- Definition, Concept Graph en
Ein Graph ist ein Paar , so dass eine Menge ist und eine Teilmenge der Menge der Paare aus . Wir nennen die Ecken (oder Punkte , Knoten ) and die Kanten (oder Linien , Pfeile ) von .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die Eckenanzahl (Anzahl der Ecken eines Graphen) wird seine Ordnung genannt, man schreibt .
- Definition, Concept Graph en
Eine ehrgeizige Zahl ist eine positive ganze Zahl , die nicht perfekt ist, deren Aliquot-Folge irgendwann periodisch mit einer Periode von wird.
- Definition, Concept Graph en
Eine nicht- trivial e Gruppe heiรt einfach wenn ihre einzigen normalen Untergruppen die triviale Gruppe und die Gruppe selbst sind.
- Definition, Concept Graph en
Eine reelle Zahl ist eine einfach normale Zahl, wenn ihre Ziffer n in jeder Basis gleich hรคufig auftreten.
- Definition, Concept Graph en
ist eine einfach normale Zahl zur Basis , wenn ihre Ziffer n in der Darstellung zur Basis gleich hรคufig auftreten.
- Definition, Concept Graph zhs
Eine partielle Ordnung heiรt lineare Ordnung (auch einfache Ordnung oder totale Ordnung ), falls oder fรผr alle .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Sind ein gerichteter Graph und ein Knoten in , dann definieren wir
-
โข
den Eingangsgrad von in als
-
โข
Ausgangsgrad von in als
-
โข
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 Wir nennen die Matrix die -dimensionale Einheitsmatrix . Im Deutschen wird auch die Schreibweise verwendet.
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die elften Smarandache-Konstanten sind definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion .
Die Summe konvergiert fรผr alle reellen Zahlen .
- Definition, Concept Graph en
Eine Primzahl wird elitรคr genannt, wenn nur endlich viele Fermat-Zahlen quadratische Reste modulo sind.
- Definition, Concept Graph en
In einem Graph ist eine Ecke mit einer Kante inzident , wenn . Man nennt dann eine Kante bei . Zwei Ecken , die mit einer Kante inzident sind, sind deren Endecke n, oder auch Ende n.
- Definition, Concept Graph en
In einem Graph ist eine Ecke mit einer Kante inzident , wenn . Man nennt dann eine Kante bei . Zwei Ecken , die mit einer Kante inzident sind, sind deren Endecke n, oder auch Ende n.
- Definition, Concept Graph zhs en
Wir nennen eine Menge is endlich mit Kardinalitรคt , wenn es eine bijektive Funktion gibt.
Die Kardinalitรคt einer Menge wird oft auch als , , oder geschrieben.
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die Abbildung von einem Alphabet auf heiรt Kleenesche Hรผlle , endlicher Abschluss , Kleene-* Abschluss , Verkettungshรผlle oder Sternhรผlle . heiรt endlicher Abschluss oder Kleene-+ Abschluss ,
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die Abbildung von einem Alphabet auf heiรt Kleenesche Hรผlle , endlicher Abschluss , Kleene-* Abschluss , Verkettungshรผlle oder Sternhรผlle . heiรt endlicher Abschluss oder Kleene-+ Abschluss ,
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Erdรถs-Borwein-Konstante ist die Summe der Kehrwerte der Mersenne-Zahlen .
- Definition, Concept Graph en
Eine erhabene Zahl oder sublime Zahl ist eine natรผrliche Zahl , bei der die Anzahl und die Summe ihrer Teiler vollkommene Zahlen sind.
- Definition, Concept Graph zhs en
Ist eine Menge , so nennen wir einen Kuratowski Abschlussoperator (oder einfach Abschlussoperator ), falls die folgenden Bedingungen erfรผllt:
-
1.
( Erhaltung nullรคrer Vereinigung )
-
2.
fรผr jede Teilmenge ( Extensivitรคt )
-
3.
( Erhaltung binรคrer Vereinigungen )
-
4.
fรผr jedes ( Idempotenz )
Ohne das Idempotenz-Axiom, sprechen wir von einem Prรค-Abschlussoperator .
Wir nennen abgeschlossen , wenn .
-
1.
- Definition, Concept Graph zhs en
Ist eine Menge , so nennen wir einen Kuratowski Abschlussoperator (oder einfach Abschlussoperator ), falls die folgenden Bedingungen erfรผllt:
-
1.
( Erhaltung nullรคrer Vereinigung )
-
2.
fรผr jede Teilmenge ( Extensivitรคt )
-
3.
( Erhaltung binรคrer Vereinigungen )
-
4.
fรผr jedes ( Idempotenz )
Ohne das Idempotenz-Axiom, sprechen wir von einem Prรค-Abschlussoperator .
Wir nennen abgeschlossen , wenn .
-
1.
- Definition, Concept Graph
Fรผr ein definieren wir die te Ableitung einer Funktion durch
Die erste Ableitung von ist , ist die zweite Ableitung von , die dritte Ableitung von , usw. In der Leibniz Notation wird die te Ableiguntsfunktion von als geschrieben.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Wir nennen die erste Projektion und die zweite Projektion .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Skewes-Zahl (oder erste Skewes-Zahl ) ist eine Obergrenze, bis zu der nicht immer gilt, vorausgesetzt, die Riemann-Hypothese ist wahr. Dabei ist die Anzahl der Primzahlen bis und ist der Integrallogarithmus .
.
- Definition, Concept Graph
Die erste Smarandache-Konstante ist definiert als
.
Dabei ist die Smarandache-Funktion .
- Definition, Concept Graph en
Die erste Tschebyschow-Funktion oder ist die Summe der Logarithmen der Primzahlen bis .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 Der -dimensionale Euclidische Raum ist as -fache Cartesische Produkt รผber den reellen Zahlen. Er wird manchmal als geschrieben um den Bezug zu Euclid zu verdeutlichen.
- Definition, Concept Graph en
Sei ein Integritรคtsring . Eine Funktion heiรt Bewertungsfunktion auf , wenn sie die folgende Bedingung erfรผllt:
Sind mit , dann gibt es so dass mit oder .
Ein Euclidischer Ring ist nun ein Integritรคtsbereich mit (mindestens) einer Bewertungsfunktion .
- Definition, Concept Graph en
Die Euklid-Mullin-Folge ist eine unendliche Folge von verschiedenen Primzahlen , in der jedes Element der grรถรte Primfaktor des um vergrรถรerten Produktes aller vorherigen Elemente ist.
Die ersten Elemente sind
- Definition, Concept Graph en
Die Euklid-Mullin-Folge ist eine unendliche Folge von verschiedenen Primzahlen , in der jedes Element der kleinste Primfaktor des um vergrรถรerten Produktes aller vorherigen Elemente ist.
Die ersten Elemente sind
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Euler-Mascheroni-Konstante (auch Eulersche Konstante ) ist eine mathematische Konstante, die mit bezeichnet wird.
Oder รคquivalent:
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die Euler-Zahlen sind eine Folge von ganzen Zahlen , die durch eine Taylorentwicklung definiert wird:
Alle Euler-Zahlen mit ungeradem Index sind Null.
- Definition, Concept Graph en
Ist differenzierbar auf , so definieren wir die Ableitungsfunktion von nach als
Die Abhรคngigkeit von ist bleibt dieser Notation ( Lagrange Notation ) implizit. In Leibniz Notation schreiben wir die Ableitungsfunktion von nach als . In Eulers Notation schreiben wir und in Newton notation .
- Definition, Concept Graph en
Die Eulersche Phi-Funktion (andere Schreibweise: Eulersche -Funktion , auch eulersche Funktion genannt) ist eine zahlentheoretische Funktion . Sie gibt fรผr jede natรผrliche Zahl an, wie viele zu teilerfremde natรผrliche Zahlen es gibt, die nicht grรถรer als sind:
- Definition, Concept Graph en
Die Eulersche Phi-Funktion (andere Schreibweise: Eulersche -Funktion , auch eulersche Funktion genannt) ist eine zahlentheoretische Funktion . Sie gibt fรผr jede natรผrliche Zahl an, wie viele zu teilerfremde natรผrliche Zahlen es gibt, die nicht grรถรer als sind:
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Euler-Mascheroni-Konstante (auch Eulersche Konstante ) ist eine mathematische Konstante, die mit bezeichnet wird.
Oder รคquivalent:
- Definition, Concept Graph en
Die Eulersche Phi-Funktion (andere Schreibweise: Eulersche -Funktion , auch eulersche Funktion genannt) ist eine zahlentheoretische Funktion . Sie gibt fรผr jede natรผrliche Zahl an, wie viele zu teilerfremde natรผrliche Zahlen es gibt, die nicht grรถรer als sind:
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Eulersche Zahl (benannt nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler) ist eine mathematische Konstante.
- Definition, Concept Graph en
Ein griechisch-lateinisches Quadrat oder Eulersches Quadrat der Grรถรe ist ein quadratisches Schema mit Zeilen und Spalten, bei dem in jedem der Felder ein Zeichen aus einer Menge und eines aus einer anderen Menge eingetragen ist. Dabei muss in jeder Zeile und auch in jeder Spalte jedes Element aus und ebenso jedes Element aus genau einmal vorkommen, und jedes Tupel muss im gesamten Quadrat genau einmal vorkommen.
- Definition, Concept Graph en
Exponentiation erhebt eine ganze Zahl (die Basis ) zur -thn Potenz ( heiรt der Exponent ). Wir definieren:
- Definition, Concept Graph en
Exponentiation erhebt ein (die Basis ) zur -ten Potenz ( heiรt der Exponent ). Wir definieren
- Definition, Concept Graph en
Exponentiation erhebt eine natรผrliche Zahl (die Basis ) zur -ten Potenz ( heiรt der Exponent ). Wir definieren und .
- Definition, Concept Graph en
Exponentiation erhebt eine Zahl (die Basis ) zur -ten Potenz ( heiรt der Exponent ).
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Exponentiation erhebt eine ganze Zahl (die Basis ) zur -thn Potenz ( heiรt der Exponent ). Wir definieren:
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Exponentiation erhebt ein (die Basis ) zur -ten Potenz ( heiรt der Exponent ). Wir definieren
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Exponentiation erhebt eine natรผrliche Zahl (die Basis ) zur -ten Potenz ( heiรt der Exponent ). Wir definieren und .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 Exponentiation erhebt eine Zahl (die Basis ) zur -ten Potenz ( heiรt der Exponent ).
- Definition, Concept Graph zhs en
Ist eine Menge , so nennen wir einen Kuratowski Abschlussoperator (oder einfach Abschlussoperator ), falls die folgenden Bedingungen erfรผllt:
-
1.
( Erhaltung nullรคrer Vereinigung )
-
2.
fรผr jede Teilmenge ( Extensivitรคt )
-
3.
( Erhaltung binรคrer Vereinigungen )
-
4.
fรผr jedes ( Idempotenz )
Ohne das Idempotenz-Axiom, sprechen wir von einem Prรค-Abschlussoperator .
Wir nennen abgeschlossen , wenn .
-
1.
- Definition, Concept Graph en
Eine Extravagante-Zahl ist eine natรผrliche Zahl , die weniger Ziffer n hat als die Anzahl der Ziffer n in ihrer Primfaktorzerlegung (einschlieรlich der Exponenten grรถรer als ).
Die ersten Zahlen sind
- Definition, Concept Graph en
Wir nennen einen topologishen Vektorraum einen F-Raum , wenn seine Topologie durch eine vollstรคndig e, translationsinvariant e Metrik induziert ist.
- Definition, Concept Graph en
Ein Factorion ist eine natรผrliche Zahl , die gleich der Summe der Fakultรคten ihrer Ziffer n ist.
Zum Beispiel
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 Die Fakultรคt (manchmal, besonders in รsterreich, auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natรผrlichen Zahl das Produkt aller natรผrlichen Zahlen kleiner und gleich dieser Zahl zuordnet.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 Die Fakultรคt (manchmal, besonders in รsterreich, auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natรผrlichen Zahl das Produkt aller natรผrlichen Zahlen kleiner und gleich dieser Zahl zuordnet.
- Definition, Concept Graph en
Eine Farey-Folge ist eine geordnete Menge der gekรผrzten Brรผche zwischen und , deren jeweiliger Nenner den Index nicht รผbersteigt. Jede Farey-Folge beginnt mit , dargestellt durch , und endet mit , dargestellt durch .
Die ersten Farey-Folgen sind
- Definition, Concept Graph en
Eine Halbprimzahl oder auch Fastprimzahl ist eine natรผrliche Zahl , die das Produkt aus zwei (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primzahlen ist.
- Definition, Concept Graph en
Eine n-Fastprimzahl oder auch Fastprimzahl n-ter Ordnung ist eine natรผrliche Zahl , deren Primfaktorzerlegung aus genau Primzahlen besteht, wobei mehrfache Primteiler entsprechend oft gezรคhlt werden.
- Definition, Concept Graph zhs en
Sei ine endliche total geordnete Menge und eine Permutation auf . Wir nennen ein Paar eine Inversion oder Fehlstand , falls aber . Wir schreiben fรผr die Anzahl der Inversionen einer Permutation .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Eine Fermatsche Primzahl ist eine Primzahl der Form
- Definition, Concept Graph en
Eine Fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis ist eine zusammengesetzte natรผrliche Zahl , fรผr die gilt
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Eine Fermatsche Zahl ist eine natรผrliche Zahl der Form .
- Definition, Concept Graph en
Der Feynman-Punkt ist ein Bereich von 6 aufeinanderfolgenden Neunen in der Dezimaldarstellung der Zahl , beginnend mit der 762. Dezimalstelle.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die Fibonacci Zahlen werden rekursiv definiert:
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die Fibonacci-Polynome werden rekursiv definiert
Die ersten Fibonacci-Polynome sind:
- Definition, Concept Graph en
Eine Primzahl ist eine Wall-Sun-Sun-Primzahl oder Fibonacci-Wieferich-Primzahl , wenn die Fibonacci-Zahl teilt, wobei fรผr das Legendre-Symbol gilt
Eine Primzahl ist eine Wall-Sun-Sun-Primzahl , wenn gilt. Dabei ist die -te Lucas-Zahl .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 mathml 0 Die Monstergruppe oder (auch bezeichnet als FischerโGriess Monster oder Friendly Giant ) ist eine einfache Gruppe (eine der 26 sporadischen Gruppen) mit einer endlichen Ordnung:
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die Franel-Zahlen sind die ganzen Zahlen
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die Franel-Zahlen sind eine Folge ganzer Zahlen , die durch folgende Rekursionsgleichung definiert ist:
Dabei ist und .
- Definition, Concept Graph en
Eine Gruppe heiรt frei , wenn es eine Teilmenge von gibt, so dass jedes Element von in genau einer Weise als Produkt endlich vieler Elemente von und ihrer Inversen geschrieben werden kann โ dabei verbieten wir triviale Produkte wie . Wir nennen eine generierende Menge oder einen Generator von .
- Definition, Concept Graph en
Freundliche Zahlen sind zwei oder mehr natรผrliche Zahlen , die die gleiche Abundancy besitzen, das Verhรคltnis zwischen der Summe der Teiler der Zahl und der Zahl selbst.
- Definition, Concept Graph en
natรผrliche Zahlen mit der gleichen Abundancy bilden ein freundliches -Tupel .
- Definition, Concept Graph en
Zwei natรผrliche Zahlen mit der gleichen Abundancy bilden ein freundliches Paar .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 mathml 0 Die Monstergruppe oder (auch bezeichnet als FischerโGriess Monster oder Friendly Giant ) ist eine einfache Gruppe (eine der 26 sporadischen Gruppen) mit einer endlichen Ordnung:
- Definition, Concept Graph en
Eine Frugal-Zahl ist eine natรผrliche Zahl , die mehr Ziffer n hat als die Anzahl der Ziffer n in ihrer Primfaktorzerlegung (einschlieรlich der Exponenten grรถรer als ).
Die ersten Zahlen sind
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die fรผnfte Smarandache-Konstante ist definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion .
Die Summe konvergiert .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die fรผnfzehnte Smarandache-Konstante ist definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion .
Die Summe konvergiert .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 Die Abrundung (oder der ganze Teil ) einer reellen Zahl ist die grรถรte ganze Zahl, die nicht grรถรer ist als . Die Aufrundungsfunktion wird auch die Gaussklammer genannt; dann wird sie als geschrieben.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 Ganzzahlige Division berechnet den ganzzahligen Quotienten (oder Modulus ) zweier ganzen Zahl en und . ist definiert als dasjenige , so dass fรผr ein . Wir nennen den Rest uns schreiben fรผr .
- Definition, Concept Graph en
Ganzzahlige Division berechnet den ganzzahligen Quotienten (oder Modulus ) zweier natรผrlichen Zahl en und . ist definiert als dasjenige , so dass fรผr ein . Wir nennen den Rest uns schreiben fรผr .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Wir definieren ein ganzzahlige Intervall als eine Menge konsekutiver ganzer Zahlen:
- Definition, Concept Graph en
Ganzzahlige Division berechnet den ganzzahligen Quotienten (oder Modulus ) zweier ganzen Zahl en und . ist definiert als dasjenige , so dass fรผr ein . Wir nennen den Rest uns schreiben fรผr .
- Definition, Concept Graph en
Ganzzahlige Division berechnet den ganzzahligen Quotienten (oder Modulus ) zweier natรผrlichen Zahl en und . ist definiert als dasjenige , so dass fรผr ein . Wir nennen den Rest uns schreiben fรผr .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 Die Abrundung (oder der ganze Teil ) einer reellen Zahl ist die grรถรte ganze Zahl, die nicht grรถรer ist als . Die Aufrundungsfunktion wird auch die Gaussklammer genannt; dann wird sie als geschrieben.
- Definition, Concept Graph en
Die Gelfond-Schneider Konstante oder Hilbert-Zahl ist die folgende reelle Zahl
- Definition, Concept Graph en
Eine Gruppe heiรt frei , wenn es eine Teilmenge von gibt, so dass jedes Element von in genau einer Weise als Produkt endlich vieler Elemente von und ihrer Inversen geschrieben werden kann โ dabei verbieten wir triviale Produkte wie . Wir nennen eine generierende Menge oder einen Generator von .
- Definition, Concept Graph en
Eine Gruppe heiรt frei , wenn es eine Teilmenge von gibt, so dass jedes Element von in genau einer Weise als Produkt endlich vieler Elemente von und ihrer Inversen geschrieben werden kann โ dabei verbieten wir triviale Produkte wie . Wir nennen eine generierende Menge oder einen Generator von .
- Definition, Concept Graph en
Sei ein Ring . Jeder Schnitt von Subring en von ist wieder ein Subring von . Ist also eine Obermendge von , so ist der Schnitt aller Subring e von die enthalten ein Subring von . ist der kleinste Subring von der enthรคlt. Wir nennen den von generierten Subring . Ist , so sagen wir daร der Ring von generiert ist.
- Definition, Concept Graph en
Sei ein Ring . Jeder Schnitt von Subring en von ist wieder ein Subring von . Ist also eine Obermendge von , so ist der Schnitt aller Subring e von die enthalten ein Subring von . ist der kleinste Subring von der enthรคlt. Wir nennen den von generierten Subring . Ist , so sagen wir daร der Ring von generiert ist.
- Definition, Concept Graph zhs en
Wir nennen eine Permutation auf einer englich en total geordneten Menge gerade bzw. ungerade , falls das ist; die Eigenschaft gerade oder ungerade zu sein heiรt die Paritรคt von .
- Definition, Concept Graph en
Ein gerichteter Graph (auch Digraph ) ist ein Paar aus einer Menge und einer Menge geordneter Paare รผber . Wir nennen die Knoten und die Kanten (auch Bรถgen ) von .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 In einem metrischen Raum nennen wir die Menge die offene Kugel nd die geschlossene Kugel um mit Radius . Wir schreiben auch und .
- Definition, Concept Graph en
Eine zusammengesetzte Zahl heiรt Giuga-Zahl , wenn fรผr alle Primteiler von gilt: bzw. wenn fรผr jeden Primteiler gilt .
- Definition, Concept Graph en
Eine glatte Zahl bezรผglich einer Schranke ist eine natรผrliche Zahl , in deren Primfaktorzerlegung keine Primzahlen vorkommen, die grรถรer als die Schranke sind. Man bezeichnet eine solche Zahl auch als -glatt .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Wir nennen zwei mathematische Objekte and gleich , (schreibe ), wenn es keine Eigenschaften gibt, die sie auseinanderhalten.
- Definition, Concept Graph en
Eine glรผckliche Zahl ist eine natรผrliche Zahl , die durch ein Sieb erzeugt wird, รคhnlich dem Sieb des Eratosthenes, das die Primzahlen erzeugt.
Begonnen wird mit den natรผrlichen Zahlen .
Jede zweite Zahl (alle geraden Zahlen) wird entfernt. Es verbleiben die ungeraden Zahlen:
Die zweite Zahl in dieser Folge ist die . Jetzt wird jede dritte Zahl entfernt:
Die nรคchste รผbriggebliebene Zahl ist . Nun wird jede siebente Zahl entfernt:
Wenn dieses Verfahren vollstรคndig durchgefรผhrt worden ist,sind die รผbriggebliebenen Zahlen die glรผcklichen Zahlen :
- Definition, Concept Graph en
Eine glรผckliche Zahl ist eine natรผrliche Zahl , die durch ein Sieb erzeugt wird, รคhnlich dem Sieb des Eratosthenes, das die Primzahlen erzeugt.
Begonnen wird mit den natรผrlichen Zahlen .
Jede zweite Zahl (alle geraden Zahlen) wird entfernt. Es verbleiben die ungeraden Zahlen:
Die zweite Zahl in dieser Folge ist die . Jetzt wird jede dritte Zahl entfernt:
Die nรคchste รผbriggebliebene Zahl ist . Nun wird jede siebente Zahl entfernt:
Wenn dieses Verfahren vollstรคndig durchgefรผhrt worden ist,sind die รผbriggebliebenen Zahlen die glรผcklichen Zahlen :
- Definition, Concept Graph en
Die glรผcklichen Zahlen von Euler sind positive ganze Zahlen , fรผr die fรผr eine Primzahl ist.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Der goldene Schnitt ist eine reelle Zahl , definiert durch
Wir haben und .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Golomb-Dickman-Konstante wird definiert als
Es gilt:
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Googol ist die groรe Zahl .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Googolplexplex ist die Zahl
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Googolplexplexplex ist die Zahl
- Definition, Concept Graph en
Der Grad (oder die Valenz ) einer Ecke ist die Anzahl der mit inzidenten Kanten, dies ist auch die Anzahl der Nachbarn von . Die Zahl heiรt Minimalgrad von , und ist sein Maximalgrad . Die Zahl nennt man den Durchschnittsgrad von .
- Definition, Concept Graph en
Ein Graph ist ein Paar , so dass eine Menge ist und eine Teilmenge der Menge der Paare aus . Wir nennen die Ecken (oder Punkte , Knoten ) and die Kanten (oder Linien , Pfeile ) von .
- Definition, Concept Graph en
Der Greedy-Algorithmus fรผr รคgyptische Brรผche ist ein Algorithmus zur Umwandlung rationaler Zahlen in รคgyptische Brรผche , zuerst beschrieben von Fibonacci. Fibonaccis Algorithmus ist die wiederholte Anwendung von
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Eine Gregory-Zahl ist eine reelle Zahl der Form
Dabei ist eine rationale Zahl grรถรer oder gleich .
- Definition, Concept Graph en
Ein griechisch-lateinisches Quadrat oder Eulersches Quadrat der Grรถรe ist ein quadratisches Schema mit Zeilen und Spalten, bei dem in jedem der Felder ein Zeichen aus einer Menge und eines aus einer anderen Menge eingetragen ist. Dabei muss in jeder Zeile und auch in jeder Spalte jedes Element aus und ebenso jedes Element aus genau einmal vorkommen, und jedes Tupel muss im gesamten Quadrat genau einmal vorkommen.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Eine Struktur aus einer Menge (die Grundmenge ) und einer binรคren Funktion (die innere Verknรผpfung ) heiรt Magma (auch Gruppoid , Binar , oder Operativ ).
- Definition, Concept Graph en
Fรผr eine Mente nennen wir eine Funktion eine Abstandsfunktion (or Metrik ) auf , falls die folgenden drei Eigenschaften fรผr alle gelten:
-
1.
gdw. ( Definitheit ),
-
2.
( Symmetrie ) und
-
3.
( Dreiecksungleichung ).
Wir nennen einen metrischen Raum mit Grundmenge und Metrik .
-
1.
- Definition, Concept Graph en
Ein Stellenwertsystem (auch Positionssystem oder polyadisches Zahlensystem genannt) ist ein Nummernsystem , bei dem die Wertigkeit einer Ziffer (auch Zahlzeichen ) von der Stelle abhรคngt.
Ein Stellenwertsystem fรผr einen for a Zahlenbereich ist durch ein Paar gegeben, wobei eine endlich e Menge von Ziffer n (wir nennen die Basis oder Grundzahl von ) und einer eine injective Abbildung von nach ist.
Die -adische Notation erweitert zu einer bijektiven Abbildung von endlichen Folgen รผber nach mittels der Arithmetik von . Eine endliche Folge wird als eine Summe der sukzessiven Potenzen multipliziert mit . Die Details variieren mit .
- Definition, Concept Graph en
Ist ein Monoid , so nennen wir eine Gruppe , wenn es fรผr jedes ein gibt mit . Wir nennen das Inverse von , die Funktion die Elementen von ihre Inversen zuordnet die inverse Funktion und entsprechend schreiben wir das Inverse von als .
- Definition, Concept Graph en
Eine Struktur aus einer Menge (die Grundmenge ) und einer binรคren Funktion (die innere Verknรผpfung ) heiรt Magma (auch Gruppoid , Binar , oder Operativ ).
- Definition, Concept Graph en
Der grรถรte gemeinsame Teiler von zwei oder mehr ganzen Zahlen , von denen mindestens eine nicht Null ist, ist die grรถรte natรผrliche Zahl , die alle Zahlen ohne Rest teilt.
- Definition, Concept Graph en
Ein Binomialkoeffizient mit ist gut , wenn fรผr seinen kleinsten Primfaktor () gilt
- Definition, Concept Graph en
Die -te Primzahl heiรt gute Primzahl , falls fรผr alle Paare von Primzahlen und , wobei von bis geht, gilt:
- Definition, Concept Graph en
Ein Magma mit assoziativer Verknรผpfung heiรt Halbgruppe . In Halbgruppen schreiben wir als .
- Definition, Concept Graph en
Eine Halbprimzahl oder auch Fastprimzahl ist eine natรผrliche Zahl , die das Produkt aus zwei (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primzahlen ist.
- Definition, Concept Graph en
Ein Halbring ist ein Ringoid , so dass und Monoide sind und kommutativ .
- Definition, Concept Graph en
Die Hardy-Ramanujan-Zahl ist die kleinste natรผrliche Zahl , fรผr die es genau zwei Darstellungen als Summe zweier Kubikzahlen gibt.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die -te Partialsumme der harmonischen Reihe heiรt die -te harmonische Zahl :
- Definition, Concept Graph en
Eine harmonische-Teiler-Zahl , oder Ore-Zahl , ist eine positive ganze Zahl , deren Harmonisches Mittel ihrer Teiler eine ganze Zahl ist.
- Definition, Concept Graph en
Eine Harshad-Zahl oder Niven-Zahl in einer gegebenen Zahlenbasis ist eine ganze Zahl die durch die Summe ihrer Ziffer n in dieser Zahlenbasis teilbar ist.
- Definition, Concept Graph en
Eine Nivenmorphic-Zahl oder Harshadmorphic-Zahl f รผr eine gegebene Zahlenbasis ist eine ganze Zahl , zu der eine Harshad-Zahl existiert, deren Quersumme ist und die mit den Ziffer von endet.
Zum Beispiel ist eine Niven-morphic-Zahl, weil eine Harshad-Zahl mit einer Quersumme von ist und auch mit endet.
- Definition, Concept Graph en
Wir sagen, dass ein topologischer Vektorraum die Heine-Borel Eigenschaft hat, falls jede abgeschlossen e und beschrรคnkt e Teilmenge seiner Grundmenge kompakt ist.
- Definition, Concept Graph en
Ein Hetero-Quadrat der Ordnung ist eine Anordnung der Zahlen bis in ein Quadrat, so dass die Summen der Zeilen, Spalten und Diagonalen alle unterschiedliche Werte haben.
- Definition, Concept Graph en
Eine Hilbert-Primzahl ist eine Hilbert-Zahl , die nicht durch eine kleinere Hilbert-Zahl (auรer der ) teilbar ist.
- Definition, Concept Graph en
Die Gelfond-Schneider Konstante oder Hilbert-Zahl ist die folgende reelle Zahl
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Eine hochzusammengesetzte Zahl ist eine positive ganze Zahl , die mehr Teiler besitzt als jede kleinere positive ganze Zahl .
- Definition, Concept Graph en
Zwei topologischen Rรคume heiรen homรถomorph , wenn es einen ?homeomorphism Homรถomorphismus zwischen ihnen gibt.
- Definition, Concept Graph zhs en
Eine Funktion zwischen zwei topologischen Rรคumen und heiรt Homรถomorphismus , wenn sie bijektiv ist und sowohl als auch stetig sind.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Hurwitzsche Zetafunction wird fรผr die komplexen Zahlen mit und mit definiert durch
Die Reihe ist absolut konvergent und hat fรผr alle eine analytische Fortsetzung.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 mathml 0 Der hyperbolische Integralkosinus oder wird definiert durch
- Definition, Concept Graph zhs en
Sei eine Teilmenge eines topologischen Raums . Dann nennen wir einen Hรคufungspunkt von , wenn jede Umgebung von mindestens einen Punkt enthรคlt mit .
- Definition, Concept Graph en
Eine hรถfliche Zahl ist eine positive ganze Zahl , die als Summe von zwei oder mehr aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahlen dargestellt werden kann.
- Definition, Concept Graph en
Iban-Zahlen sind ganze Zahlen , deren englischer Name nicht den Buchstaben โiโ enthรคlt (d.h., โiโ ist verbannt). Die Zahlen sind
- Definition, Concept Graph zhs en
Ist eine Menge , so nennen wir einen Kuratowski Abschlussoperator (oder einfach Abschlussoperator ), falls die folgenden Bedingungen erfรผllt:
-
1.
( Erhaltung nullรคrer Vereinigung )
-
2.
fรผr jede Teilmenge ( Extensivitรคt )
-
3.
( Erhaltung binรคrer Vereinigungen )
-
4.
fรผr jedes ( Idempotenz )
Ohne das Idempotenz-Axiom, sprechen wir von einem Prรค-Abschlussoperator .
Wir nennen abgeschlossen , wenn .
-
1.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Fรผr eine Menge bildet die Identitรคtsfunktion auf jedes auf sich selbst ab.
- Definition, Concept Graph en
Eine positive ganze Zahl ist eine Idoneal-Zahl genau dann, wenn sie nicht als mit verschiedenen positiven ganzen Zahlen , , und geschrieben werden kann.
- Definition, Concept Graph en
Ist ein normierter Vektorraum , so ist eine Abstrandsfunktion . Wir nennen die von induzierte Metrik .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 3 Sei eine geordnete Menge und , dann nennen wir die kleinste obere Schranke (grรถรte untere Schranke ) von das Supremum ( Infimum ) von (falls dies existiert).
Ist ein Ausdruck und eine Bedingung (in einer Variablen ), so schreiben wir fรผr und nennen es das supremum fรผr รผber . Analog schreiben wir fรผr und nennen es das infimum fรผr รผber .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Sei eine geordnete Menge und , dann nennen wir die kleinste obere Schranke (grรถรte untere Schranke ) von das Supremum ( Infimum ) von (falls dies existiert).
Ist ein Ausdruck und eine Bedingung (in einer Variablen ), so schreiben wir fรผr und nennen es das supremum fรผr รผber . Analog schreiben wir fรผr und nennen es das infimum fรผr รผber .
- Definition, Concept Graph en
Sei ein gerichteter Graph , dann nennen wir einen Knoten
-
โข
initial (oder eine Quelle ) in , wenn es kein gibt, so dass .
-
โข
terminal (oder Senke ) in , wenn es kein gibt, so dass .
-
โข
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 Eine Struktur aus einer Menge (die Grundmenge ) und einer binรคren Funktion (die innere Verknรผpfung ) heiรt Magma (auch Gruppoid , Binar , oder Operativ ).
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Der Integralkosinus wird definiert durch
ist die Euler-Mascheroni-Konstante .
ist das unbestimmte Integral von , das fรผr Null wird.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Der Integralkosinus wird definiert durch
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Der Integralkosinus wird definiert durch
ist das unbestimmte Integral von , das fรผr Null wird.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Der Integrallogarithmus ist fรผr alle positiven reellen Zahlen definiert:
Da die Funktion bei eine Singularitรคt besitzt, ist fรผr das Integral fรผr der Cauchysche Hauptwert zu nehmen:
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Der Integrallogarithmus ist fรผr alle positiven reellen Zahlen definiert:
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Der Integralsinus wird definiert durch
ist das unbestimmte Integral von , das fรผr Null wird.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Der Integralsinus wird definiert durch
ist das unbestimmte Integral von , das fรผr Null wird.
- Definition, Concept Graph en
Ist ein geordneter Ring , so defininieren wir vier arten von Intervall en als Teilmenge n von .
-
โข
-
โข
-
โข
-
โข
Hierbei ist strikte Partialordnung zu .
-
โข
- Definition, Concept Graph en
Wir definieren vier Arten von Intervallen als Teilmengen der reellen Zahlen
-
โข
-
โข
-
โข
-
โข
-
โข
- Definition, Notations, Concept Graph zhs en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Ist injektiv , dann ist die konverse Relation eine partielle Funktion , wir nennen sie die inverse Function von . Ist bijektiv und total , so ist eine totale Funktion .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Eine Matrix heiรt invertierbar , wenn es eine Matrix gibt, so dass . In diesm Fall nennen wir die inverse Matrix von und schreiben . Die (partielle) Operation auf Matritzen nennen wir Matritzeninversion .
- Definition, Concept Graph zhs en
Sei ine endliche total geordnete Menge und eine Permutation auf . Wir nennen ein Paar eine Inversion oder Fehlstand , falls aber . Wir schreiben fรผr die Anzahl der Inversionen einer Permutation .
- Definition, Concept Graph en
Eine Matrix heiรt invertierbar , wenn es eine Matrix gibt, so dass . In diesm Fall nennen wir die inverse Matrix von und schreiben . Die (partielle) Operation auf Matritzen nennen wir Matritzeninversion .
- Definition, Concept Graph en
Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl , aber keine rationale Zahl .
- Definition, Concept Graph en
Ein Polynom heiรt irreduzibel , wenn alle siner Faktoren Grad oder haben.
- Definition, Concept Graph en
Das iterierte Querprodukt einer Zahl erhรคlt man, indem man von dem Querprodukt dieser Zahl so lange wieder das Querprodukt bildet, bis nur noch eine einstellige Zahl รผbrig bleibt.
- Definition, Concept Graph en
Die iterierte Quersumme einer Zahl erhรคlt man, indem man von der Quersumme dieser Zahl so lange wieder die Quersumme bildet, bis nur noch eine einstellige Zahl รผbrig bleibt.
- Definition, Concept Graph en
Das Jacobi-Symbol ist eine Funktion einer ungeraden Zahl und einer ganzen Zahl :
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die Jacobsthal-Lucas-Zahlen w erden rekursiv definiert:
Definition in geschlossener Form:
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die Jacobsthal-Zahlen werden rekursiv definiert:
In geschlossener Form haben wir
- Definition, Concept Graph en
Ein gerichteter Graph (auch Digraph ) ist ein Paar aus einer Menge und einer Menge geordneter Paare รผber . Wir nennen die Knoten und die Kanten (auch Bรถgen ) von .
- Definition, Concept Graph en
Ein Graph ist ein Paar , so dass eine Menge ist und eine Teilmenge der Menge der Paare aus . Wir nennen die Ecken (oder Punkte , Knoten ) and die Kanten (oder Linien , Pfeile ) von .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die Kantenanzahl (Anzahl der Kanten eines Graphen) bezeichnet man mit .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Fรผr einen Graph bezeichnen wir den Graph auf , in dem genau dann als Ecken benachbart sind, wenn sie es als Kanten in sind, als den Kantengraph von .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 mathml 0 Wir nennen eine Menge is endlich mit Kardinalitรคt , wenn es eine bijektive Funktion gibt.
Die Kardinalitรคt einer Menge wird oft auch als , , oder geschrieben.
- Definition, Concept Graph en
Ein Keith-cluster i st eine Menge von Keith-Zahlen , deren Elemente Vielfache eines bestimmten Elements sind.
Zum Beispiel:
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 1 Kempner-Reihen sind subharmonische Reihen , die aus der harmonischen Reihe gebildet werden, indem alle Summanden weggelassen werden, deren Nenner im Zehnersystem die Ziffer (bzw. die Ziffernfolge der Zahl ) enthalten:
Zum Beispiel
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die Abbildung von einem Alphabet auf heiรt Kleenesche Hรผlle , endlicher Abschluss , Kleene-* Abschluss , Verkettungshรผlle oder Sternhรผlle . heiรt endlicher Abschluss oder Kleene-+ Abschluss ,
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die Abbildung von einem Alphabet auf heiรt Kleenesche Hรผlle , endlicher Abschluss , Kleene-* Abschluss , Verkettungshรผlle oder Sternhรผlle . heiรt endlicher Abschluss oder Kleene-+ Abschluss ,
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die Abbildung von einem Alphabet auf heiรt Kleenesche Hรผlle , endlicher Abschluss , Kleene-* Abschluss , Verkettungshรผlle oder Sternhรผlle . heiรt endlicher Abschluss oder Kleene-+ Abschluss ,
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 mathml 0 mathml 0 Wir definieren die Ordnungsrelation ( ist kleiner als auch als geschrieben) durch
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier oder mehrerer ganzer Zahlen ist die kleinste natรผrliche Zahl , die durch alle diese Zahlen teilbar ist.
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Ein Primfaktor einer natรผrlichen Zahl ist ein kleinster Primfaktor , wenn alle Primfaktoren von gleich oder grรถรer als dieser sind.
- Definition, Concept Graph en
Ein gerichteter Graph (auch Digraph ) ist ein Paar aus einer Menge und einer Menge geordneter Paare รผber . Wir nennen die Knoten und die Kanten (auch Bรถgen ) von .
- Definition, Concept Graph en
Ein Graph ist ein Paar , so dass eine Menge ist und eine Teilmenge der Menge der Paare aus . Wir nennen die Ecken (oder Punkte , Knoten ) and die Kanten (oder Linien , Pfeile ) von .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Eine Knรถdel-Zahl fรผr eine gegebene natrรผrliche Zahl ist eine zusammengesetzte Zahl , fรผr die fรผr jedes zu teilerfremde gilt
Die Menge aller Knรถdel-Zahlen einer Zahl wird mit bezeichnet.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Eine Knรถdel-Zahl fรผr eine gegebene natrรผrliche Zahl ist eine zusammengesetzte Zahl , fรผr die fรผr jedes zu teilerfremde gilt
Die Menge aller Knรถdel-Zahlen einer Zahl wird mit bezeichnet.
- Definition, Concept Graph en
Eine Selbst-Zahl , Kolumbianische Zahl oder Devlali-Zahl ist eine positive ganze Zahl , die in einer gegebenen Zahlenbasis nicht erzeugt werden kann, indem man zu einer anderen positiven ganzen Zahl die Quersumme dieser anderen Zahl addiert.
- Definition, Concept Graph en
In sagen wir dass kommutieren , falls . Die Operation heiรt kommutativ auf , wenn alle kommutieren .
- Definition, Concept Graph en
Eine Grruppe , deren Operation kommutativ , ist heiรt kommutative Gruppe oder Abelsche Gruppe .
- Definition, Concept Graph en
Ein kommutativer Ring ist ein Ring dessen multiplikative Strukture eine commutatives Monoid ist.
- Definition, Concept Graph en
Ein Monoid , dessen Operation kommutativ ist, heiรt kommutatives Monoid oder (seltener) Abelsches Monoid .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Ist eine Gruppe und , so definieren wir den Kommutator von und als . Er ist identisch mit der Einheit der Gruppe, genau dann wenn und kommutieren .
- Definition, Concept Graph en
In sagen wir dass kommutieren , falls . Die Operation heiรt kommutativ auf , wenn alle kommutieren .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr ro en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 mathml 0 Die Differenz von Mengen und ist definiert als .
Wir nennen auch das relative Komplement oder einfach das Komplement von in . Ist klar aus dem Kontext schreiben wir auch fรผr das Komplement von in .
- Definition, Concept Graph en
Sei ein Graph. Ein maximaler on ist eine Komponente von . Die Eckenmengen der Komponenten von bilden eine Partition der Eckenmenge von . Da zusammenhรคngende Graphen nicht leer sind, ist der leere er einzige, der keine Komponenten hat.
- Definition, Concept Graph en
Eine Struktur fasst mehrere existierende mathematische Objekte (die Komponenten ) zu einem neuen Objekt zusammen. Strukturen werden normalerweise als endliche Aufzรคhlungen ihrer Komponenten gegeben, die durch spezielle Namen referenziert werden kรถnnen.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Zwei ganze Zahlen und sind kongruent modulo , geschrieben , wenn ihre Differenz teilt.
Die Zahl nennen wir den Modulus oder Modul der Kongruenz.
- Definition, Concept Graph en
Wir nennen eine Folge konvergent , falls sie gegen einen Grenzwert konvergiert.
- Definition, Concept Graph en
Ein konvexes Polytop ist definiert als die konvexe Hรผlle einer Menge von Punkten im Euklidischen Raum .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 Das Kreuzprodukt zweier Vektoren in ist ihr Vektorprodukt .
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 2 Das Kronecker-Delta ist definiert als:
Dabei kรถnnen und Elemente einer beliebigen Indexmenge sein, meist jedoch einer endlichen Teilmenge der natรผrlichen Zahlen .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Das Kronecker-Symbol ist eine Verallgemeinerung des Jacobi-Symbols auf beliebige ganzzahlige .
Fรผr ungerade stimmt es mit dem Jacobi-Symbol รผberein. Es gelten die Regeln:
- Definition, Concept Graph en
Eine kubikfreie Taxicab-Zahl ist eine Taxicab-Zahl , die durch keine Kubikzahl auรer teilbar ist.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die Kuchen-Zahl ist die grรถsste Zahl von Teilen, in die ein Wรผrfel (oder ein 3-dimensionaler Raum) durch Ebenen geteilt werden kann.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Ist eine Menge , so nennen wir einen Kuratowski Abschlussoperator (oder einfach Abschlussoperator ), falls die folgenden Bedingungen erfรผllt:
-
1.
( Erhaltung nullรคrer Vereinigung )
-
2.
fรผr jede Teilmenge ( Extensivitรคt )
-
3.
( Erhaltung binรคrer Vereinigungen )
-
4.
fรผr jedes ( Idempotenz )
Ohne das Idempotenz-Axiom, sprechen wir von einem Prรค-Abschlussoperator .
Wir nennen abgeschlossen , wenn .
-
1.
- Definition, Concept Graph en
Sind und sets, sowie und , so nennen wir die Menge das Kuratowski Paar von und .
- Definition, Concept Graph en
Eine Kynea-Zahl ist eine ganze Zahl der Form
mit einer positiven ganzen Zahl .
- Definition, Concept Graph en
Ein Kรถrper ist ein Ring in dem alle Elemente ausser der Null multiplikative Inverse haben.
- Definition, Concept Graph en
Ist differenzierbar auf , so definieren wir die Ableitungsfunktion von nach als
Die Abhรคngigkeit von ist bleibt dieser Notation ( Lagrange Notation ) implizit. In Leibniz Notation schreiben wir die Ableitungsfunktion von nach als . In Eulers Notation schreiben wir und in Newton notation .
- Definition, Concept Graph en
Sei die Anzahl der positiven ganzen Zahlen kleiner als , die die Summe von zwei Quadratzahlen sind.
Die Landau-Ramanujan-Konstante wird definiert durch
Ihr numerischer Wert ist etwa .
- Definition, Concept Graph en
Ein lateinisches Quadrat ist ein quadratisches Schema mit Reihen und Spalten, wobei jedes Feld mit einem von verschiedenen Symbolen belegt ist, so dass jedes Symbol in jeder Zeile und in jeder Spalte jeweils genau einmal auftritt.
- Definition, Concept Graph zhs en
Die leere Menge (schreibe auch ) ist die Menge ohne Elemente. Eine Menge heiรt leer , wenn sie die leere Menge ist, sonst nichtleer .
- Definition, Concept Graph en
Sei ein Graph. Ein maximaler on ist eine Komponente von . Die Eckenmengen der Komponenten von bilden eine Partition der Eckenmenge von . Da zusammenhรคngende Graphen nicht leer sind, ist der leere er einzige, der keine Komponenten hat.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr en
Languages Arguments Rendering mathml 0 mathml 0 Die leere Menge (schreibe auch ) ist die Menge ohne Elemente. Eine Menge heiรt leer , wenn sie die leere Menge ist, sonst nichtleer .
- Definition, Concept Graph en
Ein Alphabet ist eine endliche Menge; wir nenn jedes Element einen Buchstaben und ein -Tupel ein Wort (oder Zeichenkette ) รผber . Wir schreiben ein Wort als oder sogar und das leere Wort ( leere Zeichenkette ) in als .
- Definition, Concept Graph en
Ein Alphabet ist eine endliche Menge; wir nenn jedes Element einen Buchstaben und ein -Tupel ein Wort (oder Zeichenkette ) รผber . Wir schreiben ein Wort als oder sogar und das leere Wort ( leere Zeichenkette ) in als .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Das Legendre-Symbol ist eine Funktion einer ungeraden Primzahl und einer ganzen Zahl :
- Definition, Concept Graph en
Ist differenzierbar auf , so definieren wir die Ableitungsfunktion von nach als
Die Abhรคngigkeit von ist bleibt dieser Notation ( Lagrange Notation ) implizit. In Leibniz Notation schreiben wir die Ableitungsfunktion von nach als . In Eulers Notation schreiben wir und in Newton notation .
- Definition, Concept Graph en
Eine abundante Zahl mit Abundanz nennt man eine quasiperfekte Zahl oder leicht abundant , allerdings wurde bisher noch keine gefunden.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Sei in Alphabet , eine strikte Ordnung auf und . Dann definieren wir eine Relation auf : , gdw. oder es gibt Worte und , so dass , und . Wir nennen die durch auf induzierte lexikographische Ordnung .
- Definition, Concept Graph en
Eine Leyland-Zahl ist eine ganze Zahl der Form
Dabei sind und ganze Zahlen grรถรer als .
Die ersten Leyland-Zahlen sind
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 Ist ein metrischer Raum und eine Folge mit fรผr , so ist der
-
โข
Limes superior (schreibe auch ) definiert durch
-
โข
Limes inferior (schreibe auch ) definiert durch
-
โข
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 Ist ein metrischer Raum und eine Folge mit fรผr , so ist der
-
โข
Limes superior (schreibe auch ) definiert durch
-
โข
Limes inferior (schreibe auch ) definiert durch
-
โข
- Definition, Concept Graph en
Ist ein Vektorraum , so nennen wir eine Menge linear unabhรคngig (sonst linear abhรคngig ), falls kein eine Linearkombination endlich vieler Vektoren in ist.
- Definition, Concept Graph en
Ist ein Vektorraum , so nennen wir eine Menge linear unabhรคngig (sonst linear abhรคngig ), falls kein eine Linearkombination endlich vieler Vektoren in ist.
- Definition, Concept Graph en
Eine partielle Ordnung heiรt lineare Ordnung (auch einfache Ordnung oder totale Ordnung ), falls oder fรผr alle .
- Definition, Concept Graph en
Ein Graph ist ein Paar , so dass eine Menge ist und eine Teilmenge der Menge der Paare aus . Wir nennen die Ecken (oder Punkte , Knoten ) and die Kanten (oder Linien , Pfeile ) von .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 Wir nennen einen Magma eine Quasigruppe , wenn es fรผr alle Elemente gibt, so dass und .
Wir schreiben und nennen the linke division und und nennen the rechte division .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Fรผr eine Gruppe , ein Element und eine Untergruppe von , definieren wir die linke Nebenklasse (und entsprechend die rechte Nebenklasse ) von und als (und ).
- Definition, Concept Graph en
Von verschiedene Elemente und eines Rings werden linker Nullteiler and rechter Nullteiler genannt, falls . Ein Element das linker oder rechter Nullteiler ist nennen wir schlicht Nullteiler .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 mathml 2 Sei gegeben mit und .
Dann ist der linksseitige Grenzwert von in (auch: der Grenzwert von wenn von unten gegen strebt) definiert als diejenige Zahl , so dass fรผr jedes ein gibt so dass fรผr alle . Der linksseitige Grenzwert wird geschrieben als , oder .
Analog definieren wir den rechtsseitigen Grenzwert von in (auch: der Grenzwert von wenn von unten gegen strebt) definiert als diejenige Zahl , so dass fรผr jedes ein gibt so dass fรผr alle . Der linksseitige Grenzwert wird geschrieben als , oder .
- Definition, Concept Graph en
Linkstrunkierbare Primzahlen sind Primzahlen , in denen an keiner Stelle die Ziffer Null steht und bei denen das Weglassen einer beliebigen Anzahl fรผhrender Stellen wieder zu einer Primzahl fรผhrt.
Zum Beispiel:
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Liouville-Konstante ist eine Liouvillesche Zahl , definiert durch
.
- Definition, Concept Graph en
Eine Liouvillesche Zahl ist eine reelle Zahl , welche die Bedingung erfรผllt, dass fรผr alle positiven ganzen Zahlen ganze Zahlen und mit existieren, so dass
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Eine Lobb-Zahl ist die Anzahl der Mรถglichkeiten รถffnende Klammern und schlieรende Klammern so anzuordnen, dass sie den Beginn einer korrekten Folge von รถffnenden und schlieรenden Klammern bilden.
Dabei sind und zwei ganze Zahlen mit .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 1 mathml 0 Der Logarithmus zur Basis einer reellen Zahl ist diejenige reelle Zahl mit . Die Logarithmus-Funktion ist die Inverse der Exponentialfunktion.
- Definition, Concept Graph en
Der Logarithmus zur Basis einer reellen Zahl ist diejenige reelle Zahl mit . Die Logarithmus-Funktion ist die Inverse der Exponentialfunktion.
- Definition, Concept Graph en
Ein topologischer Vektorraum heiรt lokal kompakt , falls sein Nullvektor eine Umgebung hat mit kompakt em Abschluร hat.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die Lucas-Polynome werden rekursiv definiert
Die ersten Lucas-Polynome sind:
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die Lucas-Zahlen werden rekursiv definiert:
- Definition, Concept Graph en
Eine Lychrel-Zahl ist eine natรผrliche Zahl , die niemals palindromisch wird, wenn man wiederholt die Zahl addiert, die durch Umkehrung der Ziffernfolge entsteht.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die magische Konstante oder magische Summe ist die Summe jeder Zeile, Spalte und Diagonale eines magischen Quadrates . Jedes normale magische Quadrat der Ordnung hat eine eindeutige Konstante :
- Definition, Concept Graph en
Eine magische Serie der Ordnung ist eine Menge von verschiedenen positiven ganzen Zahlen kleiner oder gleich , deren Summe die magische Konstante eines magischen Quadrates der Ordnung ergibt.
- Definition, Concept Graph en
Die magische Konstante oder magische Summe ist die Summe jeder Zeile, Spalte und Diagonale eines magischen Quadrates . Jedes normale magische Quadrat der Ordnung hat eine eindeutige Konstante :
- Definition, Concept Graph en
Ein magisches Quadrat der Kantenlรคnge ist eine quadratische Anordnung von Zahlen, so dass die Summen der Zahlen aller Zeilen, Spalten und der beiden Diagonalen gleich sind.
- Definition, Concept Graph en
Ein magisches Quadrat ist ein magisches Quadrat aus Primzahlen , wenn alle Eintrรคge Primzahlen sind.
- Definition, Concept Graph en
Eine Struktur aus einer Menge (die Grundmenge ) und einer binรคren Funktion (die innere Verknรผpfung ) heiรt Magma (auch Gruppoid , Binar , oder Operativ ).
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die Mangoldt-Funktion wird definiert als
- Definition, Concept Graph en
In wissenschaftlicher Notation werde Zahlen in der Form dargestellt, ( mal 10 hoch ), dabei nennen wir die Mantisse .
Wir sprechen von normalisierten Gleitkommazahlen , falls .
- Definition, Concept Graph en
Eine Matrix heiรt invertierbar , wenn es eine Matrix gibt, so dass . In diesm Fall nennen wir die inverse Matrix von und schreiben . Die (partielle) Operation auf Matritzen nennen wir Matritzeninversion .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 mathml 0 mathml 0 Gegeben zwei Matritzen und wird das Matritzenprodukt รผber die Matritzenmultiplikation definiert: .
- Definition, Concept Graph en
Gegeben zwei Matritzen und wird das Matritzenprodukt รผber die Matritzenmultiplikation definiert: .
- Definition, Concept Graph en
Matrixaddition wird punktweise definiert: Gegeben zwei Matritzen und , ist die Matritzensumme definiert als .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Matrixaddition wird punktweise definiert: Gegeben zwei Matritzen und , ist die Matritzensumme definiert als .
- Definition, Concept Graph en
Fรผr einen Graph ist die minimale Lรคnge eines in enthaltenen Kreis es die Taillenweite von , die maximale Lรคnge eines in enthaltenen Kreis es ist der Umfang von . Fรผr einen Graph, der keinen Kreis enthรคlt, setzen wir die Taillenweite auf , sein Umfang wird auf Null gesetzt.
- Definition, Concept Graph en
Sei ein Graph. Ein maximaler on ist eine Komponente von . Die Eckenmengen der Komponenten von bilden eine Partition der Eckenmenge von . Da zusammenhรคngende Graphen nicht leer sind, ist der leere er einzige, der keine Komponenten hat.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Der Grad (oder die Valenz ) einer Ecke ist die Anzahl der mit inzidenten Kanten, dies ist auch die Anzahl der Nachbarn von . Die Zahl heiรt Minimalgrad von , und ist sein Maximalgrad . Die Zahl nennt man den Durchschnittsgrad von .
- Definition, Concept Graph
Sei eine reellwertige oder komplexe Funktion die glatt ist auf einem Hรคufungspunkt des Definitionsbereichs von , dann nennen wir die Reihe
die Taylorreihe fรผr am Entwicklungspunkt . Ist , so nennen wir die Reihe die Mclaurinreihe .
- Definition, Concept Graph en
Eine Meertens-Zahl ist eine ganze Zahl , die gleich ihrer Gรถdelnummer ist. Die einzige bekannte Meertens-Zahl ist โ
- Definition, Concept Graph en
Die Mercator-Reihe oder Newton-Mercator-Reihe ist die Taylorreihe des natรผrlichen Logarithmus .
Die Reihe konvergiert fรผr .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Eine Mersenne-Primzahl ist eine Primzahl der Form
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Eine Mersenne-Zahl ist eine natรผrliche Zahl der Form
- Definition, Concept Graph
Die Mertens-Function ist fรผr alle positiven ganzen Zahlen definiert:
wobei die Mรถbius-Funktion ist. Die Funktion ist nach Franz Mertens benannt.
Die Definition kann auf die reellen Zahlen erweitert werden:
- Definition, Concept Graph
Fรผr eine Mente nennen wir eine Funktion eine Abstandsfunktion (or Metrik ) auf , falls die folgenden drei Eigenschaften fรผr alle gelten:
-
1.
gdw. ( Definitheit ),
-
2.
( Symmetrie ) und
-
3.
( Dreiecksungleichung ).
Wir nennen einen metrischen Raum mit Grundmenge und Metrik .
-
1.
- Definition, Concept Graph en
Fรผr eine Mente nennen wir eine Funktion eine Abstandsfunktion (or Metrik ) auf , falls die folgenden drei Eigenschaften fรผr alle gelten:
-
1.
gdw. ( Definitheit ),
-
2.
( Symmetrie ) und
-
3.
( Dreiecksungleichung ).
Wir nennen einen metrischen Raum mit Grundmenge und Metrik .
-
1.
- Definition, Concept Graph en
Fรผr eine Mente nennen wir eine Funktion eine Abstandsfunktion (or Metrik ) auf , falls die folgenden drei Eigenschaften fรผr alle gelten:
-
1.
gdw. ( Definitheit ),
-
2.
( Symmetrie ) und
-
3.
( Dreiecksungleichung ).
Wir nennen einen metrischen Raum mit Grundmenge und Metrik .
-
1.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Mills-Konstante ist die kleinste positive reelle Zahl fรผr die
fรผr alle positiven ganzen Zahlen eine Primzahl ist. Diese Konstante ist nach William H. Mills benannt, der 1947 die Existenz von bewies.
Ist die Riemannsche Vermutung wahr, gilt
Die Primzahlen, die durch die Mills-Konstante erzeugt werden, nennt man Mills-Primzahl en. Ist die Riemannsche Vermutung war, erhรคlt man fรผr die ersten Primzahlen
- Definition, Concept Graph en
Die Mills-Konstante ist die kleinste positive reelle Zahl fรผr die
fรผr alle positiven ganzen Zahlen eine Primzahl ist. Diese Konstante ist nach William H. Mills benannt, der 1947 die Existenz von bewies.
Ist die Riemannsche Vermutung wahr, gilt
Die Primzahlen, die durch die Mills-Konstante erzeugt werden, nennt man Mills-Primzahl en. Ist die Riemannsche Vermutung war, erhรคlt man fรผr die ersten Primzahlen
- Definition, Concept Graph en
Fรผr einen Graph ist die minimale Lรคnge eines in enthaltenen Kreis es die Taillenweite von , die maximale Lรคnge eines in enthaltenen Kreis es ist der Umfang von . Fรผr einen Graph, der keinen Kreis enthรคlt, setzen wir die Taillenweite auf , sein Umfang wird auf Null gesetzt.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Der Grad (oder die Valenz ) einer Ecke ist die Anzahl der mit inzidenten Kanten, dies ist auch die Anzahl der Nachbarn von . Die Zahl heiรt Minimalgrad von , und ist sein Maximalgrad . Die Zahl nennt man den Durchschnittsgrad von .
- Definition, Concept Graph en
Mirpzahlen (โprimโ rรผckwรคrts geschrieben) sind Primzahlen , die rรผckwรคrts gelesen eine andere Primzahl ergeben.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Zwei ganze Zahlen und sind kongruent modulo , geschrieben , wenn ihre Differenz teilt.
Die Zahl nennen wir den Modulus oder Modul der Kongruenz.
- Definition, Concept Graph en
Ganzzahlige Division berechnet den ganzzahligen Quotienten (oder Modulus ) zweier ganzen Zahl en und . ist definiert als dasjenige , so dass fรผr ein . Wir nennen den Rest uns schreiben fรผr .
- Definition, Concept Graph en
Ganzzahlige Division berechnet den ganzzahligen Quotienten (oder Modulus ) zweier natรผrlichen Zahl en und . ist definiert als dasjenige , so dass fรผr ein . Wir nennen den Rest uns schreiben fรผr .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Zwei ganze Zahlen und sind kongruent modulo , geschrieben , wenn ihre Differenz teilt.
Die Zahl nennen wir den Modulus oder Modul der Kongruenz.
- Definition, Concept Graph en
, so nennen wir eine Einheit (oder das Einselement ) fรผr , falls und fรผr alle .
nennen wir dann ein Monoid .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 mathml 0 Die Monstergruppe oder (auch bezeichnet als FischerโGriess Monster oder Friendly Giant ) ist eine einfache Gruppe (eine der 26 sporadischen Gruppen) mit einer endlichen Ordnung:
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Motzkin Zahlen werden rekursiv definiert:
Dabei ist .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die Motzkin-Zahl zu einer gegebenen natรผrlichen Zahl ist die Anzahl der unterschiedlichen Mรถglichkeiten in einem Kreis zwischen Punkten sich nicht schneidende Sehnen zu zeichnen.
Die ersten Motzkin-Zahlen sind
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die Motzkin-Zahlen fรผr natรผrliche Zahlen kรถnnen durch Catalan-Zahlen ausgedrรผckt werden:
- Definition, Concept Graph en
Eine Zahl ist eine multiperfekte Zahl oder -perfekt fรผr eine gegebene natรผrliche Zahl , genau dann, wenn die Summe aller ihrer positiven Teiler betrรคgt.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 mathml 0 Auf , werden Multiplikation und Produkt per Fallunterscheidung definiert:
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 mathml 0 Multiplikation berechnet das Produkt (auch geschrieben als oder ) von und . Wir definieren und .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 mathml 0 Multiplikation berechnet das Produkt von und .
- Definition, Concept Graph zhs en
Ein multirelationionaler Ausdruck steht fรผr eine Konjunktion von relationalen Aussagen: gilt, falls gilt und ausserdem .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die Mรถbiusfunktion ist fรผr alle positiven ganzen Zahlen definiert und nimmt Werte aus der Menge an. Dabei hรคngen die Funktionswerte von der Primfaktorzerlegung von ab. Die Mรถbiusfunktion ist wie folgt definiert:
- Definition, Concept Graph en
Eine n-Fastprimzahl oder auch Fastprimzahl n-ter Ordnung ist eine natรผrliche Zahl , deren Primfaktorzerlegung aus genau Primzahlen besteht, wobei mehrfache Primteiler entsprechend oft gezรคhlt werden.
- Definition, Concept Graph en
Zwei Ecken und in einem Graph sind adjazent , oder Nachbar n, wenn eine Kante von ist.
Zwei Kanten sind adjazent , wenn sie ein Ende gemeinsam haben.
- Definition, Concept Graph
Der Grad (oder die Valenz ) einer Ecke ist die Anzahl der mit inzidenten Kanten, dies ist auch die Anzahl der Nachbarn von . Die Zahl heiรt Minimalgrad von , und ist sein Maximalgrad . Die Zahl nennt man den Durchschnittsgrad von .
- Definition, Concept Graph en
Eine Nah-Wilson-Primzahl ist eine Primzahl , fรผr die folgende Kongruenz gilt:
Hierbei ist eine ganze Zahl mit kleinem Absolutwert .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 Die Narayana-Zahlen sind die Anzahl der Wege von nach unter Verwendung von Schritten nach Nordost und Sรผdost ohne dabei unter die -Achse zu gelangen und mit genau Spitzen(Maxima).
Dabei sind und natรผrliche Zahlen mit .
- Definition, Concept Graph en
Eine Teilmenge der positiven ganzen Zahlen hat eine asymptotische Dichte (oder natรผrliche Dichte ) , wobei gilt, wenn der Grenzwert existiert
ist die Anzahl der Elemente von , die nicht grรถรer als sind.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 mathml 0 Der natรผrliche Logarithmus ist der Logarithmus logarithm zur Basis .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Menge der natรผrlichen Zahlen ist die Menge .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Menge der reellen Zahlen ist die Vervollstรคndigung von .
Wir schreiben und fรผr die Mengen der negativen reellen Zahlen und der positiven reellen Zahlen .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die neunte Smarandache-Konstante ist definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion .
Die Summe konvergiert .
- Definition, Concept Graph en
Eine Newman-Shanks-Williams-Primzahl , oder NSW-Primzahl , ist eine Primzahl , die in folgender Form geschrieben werden kann
Dabei ist eine natรผrliche Zahl .
- Definition, Concept Graph en
Ist differenzierbar auf , so definieren wir die Ableitungsfunktion von nach als
Die Abhรคngigkeit von ist bleibt dieser Notation ( Lagrange Notation ) implizit. In Leibniz Notation schreiben wir die Ableitungsfunktion von nach als . In Eulers Notation schreiben wir und in Newton notation .
- Definition, Concept Graph
Die Mercator-Reihe oder Newton-Mercator-Reihe ist die Taylorreihe des natรผrlichen Logarithmus .
Die Reihe konvergiert fรผr .
- Definition, Concept Graph en
Ein nicht leerer Graph wird zusammenhรคngender enannt, wenn je zwei seiner Ecken durch einen Weg verbunden sind. Wenn fรผr eine Teilmenge der Eckenmenge der induzierte Teilgraph adefi[connected]zusammenhรคngend ist, so nennen wir zusammenhรคngend in . Als Verneinung ziehen wir โ unzusammenhรคngend der Formulierung โ nicht vor.
- Definition, Concept Graph en
Eine Nicht-Hypotenuse-Zahl ist eine natรผrliche Zahl , deren Quadrat nicht die Summe von zwei positiven Quadratzahlen ist.
Die ersten Nicht-Hypotenuse-Zahlen sind:
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die nicht-normalisierte sinc-Funktion ist eine Funktion entsprechend der Definition
- Definition, Concept Graph zhs en
Die leere Menge (schreibe auch ) ist die Menge ohne Elemente. Eine Menge heiรt leer , wenn sie die leere Menge ist, sonst nichtleer .
- Definition, Concept Graph en
Ist keiner der trivialen Teiler , , und , so nennt man einen echten oder nichttrivialen Teiler von .
- Definition, Concept Graph en
Eine Harshad-Zahl oder Niven-Zahl in einer gegebenen Zahlenbasis ist eine ganze Zahl die durch die Summe ihrer Ziffer n in dieser Zahlenbasis teilbar ist.
- Definition, Concept Graph en
Eine Nivenmorphic-Zahl oder Harshadmorphic-Zahl f รผr eine gegebene Zahlenbasis ist eine ganze Zahl , zu der eine Harshad-Zahl existiert, deren Quersumme ist und die mit den Ziffer von endet.
Zum Beispiel ist eine Niven-morphic-Zahl, weil eine Harshad-Zahl mit einer Quersumme von ist und auch mit endet.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Man definiert und als den grรถรten Exponenten, der bei der Primfaktorzerlegung einer natรผrlichen Zahl auftritt.
Die Nivens Konstante ist definiert durch
Es folgt
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 Ist in Vektorraum รผber einem Subkรถrper der komplexen Zahlen, so nennen wir eine Funktion eine Norm auf , wenn fรผr alle und
-
1.
( absolute Homogenitรคt ).
-
2.
( Dreiecksungleichung ).
-
3.
If , then is the zero vector ( Definitheit ).
Wir nennen das Paar einen normierten Vektorraum .
-
1.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Eine Untergruppe einer group heiรt normal , wenn fรผr alle und , also, wenn invariant ist unter konjugation .
- Definition, Concept Graph en
Eine reelle Zahl ist eine normale Zahl, wenn ihre Ziffer in jeder Basis gleich hรคufig auftreten, ebenso alle Ziffernpaare, alle Zifferntripel usw.
- Definition, Concept Graph en
Wir nennen ist eine normale Zahl zur Basis , wenn ihre Ziffer n, Ziffernpaare, Zifferntripel usw. in der Darstellung zur Basis gleich hรคufig auftreten.
- Definition, Concept Graph en
Ein magisches Quadrat , das die Zahlen von bis enthรคlt, wird als normales magisches Quadrat bezeichnet.
- Definition, Concept Graph en
Ein lateinisches Quadrat heiรt reduziert , auch normalisiert oder in Standardform , wenn in der ersten Zeile und in der ersten Spalte die verschiedenen Symbole in ihrer โnatรผrlichen Reihenfolgeโ stehen.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die normalisierte sinc-Funktion ist eine Funktion entsprechend der Definition
- Definition, Concept Graph en
In wissenschaftlicher Notation werde Zahlen in der Form dargestellt, ( mal 10 hoch ), dabei nennen wir die Mantisse .
Wir sprechen von normalisierten Gleitkommazahlen , falls .
- Definition, Concept Graph en
Ist in Vektorraum รผber einem Subkรถrper der komplexen Zahlen, so nennen wir eine Funktion eine Norm auf , wenn fรผr alle und
-
1.
( absolute Homogenitรคt ).
-
2.
( Dreiecksungleichung ).
-
3.
If , then is the zero vector ( Definitheit ).
Wir nennen das Paar einen normierten Vektorraum .
-
1.
- Definition, Concept Graph en
Eine Newman-Shanks-Williams-Primzahl , oder NSW-Primzahl , ist eine Primzahl , die in folgender Form geschrieben werden kann
Dabei ist eine natรผrliche Zahl .
- Definition, Concept Graph en
Eine ganze Zahl ist nullfrei , wenn ihre Dezimaldarstellung keine Ziffer enthรคlt.
- Definition, Concept Graph en
Sei ein Ring , seine additive Einheit und fรผr eine Menge , dann nennen wir jedes eine Nullstelle von .
- Definition, Concept Graph en
Von verschiedene Elemente und eines Rings werden linker Nullteiler and rechter Nullteiler genannt, falls . Ein Element das linker oder rechter Nullteiler ist nennen wir schlicht Nullteiler .
- Definition, Concept Graph en
Eine Represenataion iner Zahl in einem Nummernsystem heiรt eine Nummer .
- Definition, Concept Graph en
Ein Nummernsystem ist ein Schriftsystem fรผr Zahl en, genauer gesagt ein System mathematischer Notationen, das Zahl en als konsistente Anordnung anderer Symbole ausdrรผckt.
- Definition, Concept Graph en
Die orthogonal arrayrepresentation ( OAR ) eines lateinischen Quadrates ist seine Dartsellung als verschiedenen Tripel , wobei die Nummer der Zeile ( Reihe), die Nummer der Spalte und die dort im Quadrat stehende Zahl ist.
- Definition, Concept Graph en
Oban-Zahlen sind ganze Zahlen , deren englischer Name nicht den Buchstaben โoโ enthรคlt (d.h., โoโ ist verbannt). Die Zahlen sind
- Definition, Concept Graph en
Sei eine quasigeordnete Menge und , dann nennen wir eine obere Schranke von , wenn fรผr alle und eine untere Schranke , falls fรผr alle .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 In einem metrischen Raum nennen wir die Menge die offene Kugel nd die geschlossene Kugel um mit Radius . Wir schreiben auch und .
- Definition, Concept Graph en
Eine Struktur aus einer Menge (die Grundmenge ) und einer binรคren Funktion (die innere Verknรผpfung ) heiรt Magma (auch Gruppoid , Binar , oder Operativ ).
- Definition, Concept Graph en
Die Eckenanzahl (Anzahl der Ecken eines Graphen) wird seine Ordnung genannt, man schreibt .
- Definition, Concept Graph en
Ein ungeordnetes Paar heiรt Teilung von , wenn und keine Kante zwischen und hat. Letzteres ist offensichtlich รคquivalent zu der Aussage, dass von durch getrennt wird. Wenn weder noch leer ist, heiรt die Teilung echt. Die Zahl ist die Ordnung der Teilung .
- Definition, Concept Graph en
Eine harmonische-Teiler-Zahl , oder Ore-Zahl , ist eine positive ganze Zahl , deren Harmonisches Mittel ihrer Teiler eine ganze Zahl ist.
- Definition, Concept Graph en
Die orthogonal arrayrepresentation ( OAR ) eines lateinischen Quadrates ist seine Dartsellung als verschiedenen Tripel , wobei die Nummer der Zeile ( Reihe), die Nummer der Spalte und die dort im Quadrat stehende Zahl ist.
- Definition, Concept Graph zhs tr en
Eine Familie von Mengen heiรt paarweise disjunkt , wenn je zwei Mengen disjunkt sind.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die Padovan-Zahlen werden rekursiv definiert
- Definition, Concept Graph en
Bei einem Panmagischen Quadrat muss nicht nur die Summe der Diagonalen, sondern auch die der gebrochenen Diagonalen gleich sein. Die gebrochenen Diagonalen verlaufen parallel zur Haupt- bzw. Nebendiagonale, wobei Elemente auรerhalb des Quadrats um eine Kantenlรคnge verschoben werden.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Das Vorzeichen , (auch Signum , Signatur oder Paritรคt ) einer Permutation auf einer englich en total geordneten Menge ist fรผr gerade Permutationen und sonst:
- Definition, Concept Graph zhs en
Wir nennen eine Permutation auf einer englich en total geordneten Menge gerade bzw. ungerade , falls das ist; die Eigenschaft gerade oder ungerade zu sein heiรt die Paritรคt von .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Ist eine Folge mit oder , so definieren wir die -te Partialsumme durch .
Die durch induzierte Reihe ist die Partialsummenfolge .
- Definition, Concept Graph en
Ist eine Folge mit oder , so definieren wir die -te Partialsumme durch .
Die durch induzierte Reihe ist die Partialsummenfolge .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die Pell-Lucas-Zahlen , auch Pell-Zahlen 2. Art oder Companion Pell-Zahlen werden rekursiv definiert:
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die Pell-Zahlen werden rekursiv definiert mit den Gleichungen
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die Pell-Lucas-Zahlen , auch Pell-Zahlen 2. Art oder Companion Pell-Zahlen werden rekursiv definiert:
- Definition, Concept Graph en
Eine natรผrliche Zahl wird vollkommene Zahl (auch perfekte Zahl ) genannt, wenn sie gleich der Summe aller ihrer (positiven) echten Teiler ist.
- Definition, Concept Graph en
Eine permutierbare Primzahl ist eine Primzahl , die bei jeder Permutation ihrer Ziffer n wieder eine Primzahl ist.
Zum Beispiel:
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Eine Perrin-Pseudoprimzahl ist eine zusammengesetzte Zahl , die die Perrin-Zahl teilt.
- Definition, Concept Graph en
Ein Graph ist ein Paar , so dass eine Menge ist und eine Teilmenge der Menge der Paare aus . Wir nennen die Ecken (oder Punkte , Knoten ) and die Kanten (oder Linien , Pfeile ) von .
- Definition, Concept Graph en
Eine Pierpont-Primzahl ist eine Primzahl der Form mit nichtnegativen ganzen Zahlen und .
- Definition, Concept Graph en
Eine Pillai-Primzahl ist eine Primzahl fรผr die eine ganze Zahl existiert, so dass und .
Die kleinste Pillai-Primzahl ist mit :
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Plastic-Zahl (auch Plastic-Konstante genannt) ist die einzige reelle Lรถsung der kubischen Gleichung . Ihr Wert betrรคgt:
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Plastic-Zahl (auch Plastic-Konstante genannt) ist die einzige reelle Lรถsung der kubischen Gleichung . Ihr Wert betrรคgt:
- Definition, Concept Graph en
Ein Stellenwertsystem (auch Positionssystem oder polyadisches Zahlensystem genannt) ist ein Nummernsystem , bei dem die Wertigkeit einer Ziffer (auch Zahlzeichen ) von der Stelle abhรคngt.
Ein Stellenwertsystem fรผr einen for a Zahlenbereich ist durch ein Paar gegeben, wobei eine endlich e Menge von Ziffer n (wir nennen die Basis oder Grundzahl von ) und einer eine injective Abbildung von nach ist.
Die -adische Notation erweitert zu einer bijektiven Abbildung von endlichen Folgen รผber nach mittels der Arithmetik von . Eine endliche Folge wird als eine Summe der sukzessiven Potenzen multipliziert mit . Die Details variieren mit .
- Definition, Concept Graph en
Ein Stellenwertsystem (auch Positionssystem oder polyadisches Zahlensystem genannt) ist ein Nummernsystem , bei dem die Wertigkeit einer Ziffer (auch Zahlzeichen ) von der Stelle abhรคngt.
Ein Stellenwertsystem fรผr einen for a Zahlenbereich ist durch ein Paar gegeben, wobei eine endlich e Menge von Ziffer n (wir nennen die Basis oder Grundzahl von ) und einer eine injective Abbildung von nach ist.
Die -adische Notation erweitert zu einer bijektiven Abbildung von endlichen Folgen รผber nach mittels der Arithmetik von . Eine endliche Folge wird als eine Summe der sukzessiven Potenzen multipliziert mit . Die Details variieren mit .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Menge der positiven natรผrlichen Zahlen ist .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Menge der reellen Zahlen ist die Vervollstรคndigung von .
Wir schreiben und fรผr die Mengen der negativen reellen Zahlen und der positiven reellen Zahlen .
- Definition, Concept Graph en
Eine potente Zahl ist das Produkt einer Quadratzahl und einer Kubikzahl.
Eine potente Zahl ist eine natรผrliche Zahl , so dass fรผr jeden Primteiler von auch Teiler von ist.
- Definition, Concept Graph en
Exponentiation erhebt eine ganze Zahl (die Basis ) zur -thn Potenz ( heiรt der Exponent ). Wir definieren:
- Definition, Concept Graph en
Exponentiation erhebt ein (die Basis ) zur -ten Potenz ( heiรt der Exponent ). Wir definieren
- Definition, Concept Graph en
Exponentiation erhebt eine natรผrliche Zahl (die Basis ) zur -ten Potenz ( heiรt der Exponent ). Wir definieren und .
- Definition, Concept Graph en
Exponentiation erhebt eine Zahl (die Basis ) zur -ten Potenz ( heiรt der Exponent ).
- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr ro en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Fรผr eine Menge definieren wir die Potenzmenge von als .
- Definition, Concept Graph en
Eine praktische Zahl ist eine positive ganze Zahl , so dass alle kleineren positiven ganzen Zahlen als Summe verschiedener Teiler von dargestellt werden kรถnnen.
- Definition, Concept Graph en
Sei ein kommutativer Ring und mit und . Ist or durch teilbar sind, wann immer durch teilbar ist, so nennen wir prim .
- Definition, Concept Graph
, so nennen wir ein Ideal ein Primideal oder prim fรผr alle gilt: aus folgt .
, so nennen wir ein Ideal ein Primideal oder prim fรผr alle gilt: aus folgt .
- Definition, Concept Graph en
Eine Primzahl ist ein Primfaktor der natรผrlichen Zahl , wenn ein Teiler von ist.
- Definition, Concept Graph en
Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer zusammengesetzten Zahl als Produkt aus Primzahlen .
- Definition, Concept Graph
, so nennen wir ein Ideal ein Primideal oder prim fรผr alle gilt: aus folgt .
, so nennen wir ein Ideal ein Primideal oder prim fรผr alle gilt: aus folgt .
- Definition, Concept Graph en
Ein pythagoreisches Zahlentripel besteht aus drei positiven ganzen Zahlen , , und , fรผr die gilt .
Ein pythagoreisches Tripel heiรt primitiv wenn , und teilerfremd sind.
- Definition, Concept Graph en
Eine Zahl heiรt Primitivwurzel modulo , wenn jede teilerfremde Zahl kongruent modulo zu einer Potenz von ist.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 Das Primorial einer natรผrlichen Zahl ist das Produkt aller Primzahlen kleiner oder gleich dieser Zahl.
- Definition, Concept Graph en
Primorial-Primzahlen sind Primzahlen der Form wobei das Produkt der ersten Primzahlen ist.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Eine Primzahl ist eine natรผrliche Zahl , die genau zwei natรผrliche Zahlen als Teiler hat. Die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich bezeichnet man mit .
- Definition, Concept Graph en
Wenn ein Primzahlvierling ist und oder auch eine Primzahl ist, dann sind die fรผnf Primzahlen ein Primzahlfรผnfling .
Zum Beispiel:
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Eine Primzahllรผcke ist die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen .
- Definition, Concept Graph en
Wenn ein Primzahlvierling ist und und auch Primzahlen sind, dann sind die sechs Primzahlen ein Primzahlsechsling .
Zum Beispiel:
- Definition, Concept Graph en
Ein Primzahlvierling ist eine Menge von vier Primzahlen der Form .
Zum Beispiel:
- Definition, Concept Graph en
Eine Primรคr-Pseudoperfekte-Zahl ist eine natรผrliche Zahl , die die รคgyptische Bruch Gleichung
erfรผllt, wobei die Summe รผber alle Primteiler von zu nehmen ist.
- Definition, Concept Graph en
Multiplikation berechnet das Produkt (auch geschrieben als oder ) von und . Wir definieren und .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 1 Seien eine Menge, eine รquivalenzrelation auf und , dann nennen wir die Menge die รquivalenzklasse von (unter ), und die Menge die Quotientenmenge von (unter ).
Wir nennen die Abbildung die Projektion von auf unter .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Eine pronische Zahl , Rechteckzahl , oder Rechteckszahl ist eine natรผrliche Zahl , die das Produkt zweier aufeinanderfolgender natรผrlicher Zahlen ist.
- Definition, Concept Graph en
Eine Proth-Zahl ist eine natรผrliche Zahl der Form wobei eine ungerade und eine positive ganze Zahl mit ist.
Die Cullen-Zahlen () und die Fermat-Zahlen () sind Spezialfรคlle der Proth-Zahlen .
- Definition, Concept Graph en
Eine Proth-Zahl ist eine natรผrliche Zahl der Form wobei eine ungerade und eine positive ganze Zahl mit ist.
Die Cullen-Zahlen () und die Fermat-Zahlen () sind Spezialfรคlle der Proth-Zahlen .
- Definition, Concept Graph en
Eine Prothsche Primzahl ist eine Primzahl der Form wobei eine ungerade und eine positive ganze Zahl mit ist.
- Definition, Concept Graph zhs en
Ist eine Menge , so nennen wir einen Kuratowski Abschlussoperator (oder einfach Abschlussoperator ), falls die folgenden Bedingungen erfรผllt:
-
1.
( Erhaltung nullรคrer Vereinigung )
-
2.
fรผr jede Teilmenge ( Extensivitรคt )
-
3.
( Erhaltung binรคrer Vereinigungen )
-
4.
fรผr jedes ( Idempotenz )
Ohne das Idempotenz-Axiom, sprechen wir von einem Prรค-Abschlussoperator .
Wir nennen abgeschlossen , wenn .
-
1.
- Definition, Concept Graph en
Ist in Alphabet , so sagen wir dass ein Wort ein Teilwort ( Teilkette ) eines Wortes (schreibe ), falls es Worte gibt, so dass . Ist oder , so nennen wir ein echtes Teilwort ( echte Teilkette ) von und schreiben .
Ist , so nennen wir einen Prรคfix von und schreiben , ist ausserdem so ist ein echter Prรคfix von und wir schreiben . Analog gilt: ist , so nenne wir einen Suffix von , ist ausserdem echter Suffix von .
- Definition, Concept Graph en
Ein Graph ist ein Paar , so dass eine Menge ist und eine Teilmenge der Menge der Paare aus . Wir nennen die Ecken (oder Punkte , Knoten ) and die Kanten (oder Linien , Pfeile ) von .
- Definition, Concept Graph en
Eine Pythagoras-Box ist ein Quadrupel von natรผrlichen Zahlen , die einen Quader mit den Seitenlรคngen , , und einer Raumdiagonalen der Lรคnge definieren.
- Definition, Concept Graph en
Ein pythagoreisches Zahlentripel besteht aus drei positiven ganzen Zahlen , , und , fรผr die gilt .
Ein pythagoreisches Tripel heiรt primitiv wenn , und teilerfremd sind.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 4 Ein Pythagorรคisches Quadrupel ist ein Tupel von vier ganzen Zahlen , , und , fรผr das gilt
- Definition, Concept Graph en
Eine natรผrliche Zahl heiรt quadratfrei , wenn in ihrer Primfaktorzerlegung keine Primzahl mehr als einmal auftritt.
- Definition, Concept Graph en
Eine ganze Zahl mit ist ein quadratischer Rest bezรผglich eines Moduls wenn sie kongruent zu einem Quadrat modulo ist; d.h., wenn eine Zahl existiert, fรผr die gilt: . Andernfalls wird als quadratischer Nichtrest modulo bezeichnet.
- Definition, Concept Graph en
Eine ganze Zahl mit ist ein quadratischer Rest bezรผglich eines Moduls wenn sie kongruent zu einem Quadrat modulo ist; d.h., wenn eine Zahl existiert, fรผr die gilt: . Andernfalls wird als quadratischer Nichtrest modulo bezeichnet.
- Definition, Concept Graph en
Wir nennen einen Magma eine Quasigruppe , wenn es fรผr alle Elemente gibt, so dass und .
Wir schreiben und nennen the linke division und und nennen the rechte division .
- Definition, Concept Graph en
Eine abundante Zahl mit Abundanz nennt man eine quasiperfekte Zahl oder leicht abundant , allerdings wurde bisher noch keine gefunden.
- Definition, Concept Graph en
Sei ein gerichteter Graph , dann nennen wir einen Knoten
-
โข
initial (oder eine Quelle ) in , wenn es kein gibt, so dass .
-
โข
terminal (oder Senke ) in , wenn es kein gibt, so dass .
-
โข
- Definition, Concept Graph en
Das Querprodukt einer natรผrlichen Zahl ist das Produkt ihrer Ziffer n.
- Definition, Concept Graph en
Als Quersumme bezeichnet man die Summe der Ziffer n einer natรผrlichen Zahl .
- Definition, Concept Graph en
Division berechnet den Quotienten von Zahl en und . Er ist definiert als diejenige Zahl โ falls sie existiert, so dass .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Seien eine Menge, eine รquivalenzrelation auf und , dann nennen wir die Menge die รquivalenzklasse von (unter ), und die Menge die Quotientenmenge von (unter ).
Wir nennen die Abbildung die Projektion von auf unter .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Das Radikal einer ganzen Zahl ist das Produkt ihrer unterschiedlichen Primfaktoren .
- Definition, Concept Graph en
Sei fรผr reelle Zahlen , , und , dann ist die Ramanujan-6-10-8-Identitรคt gegeben durch
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Ramanujan-Konstante ist die irrationale Zahl
Sie liegt sehr nahe bei einer ganzen Zahl :
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Ramanujan-Soldner-Konstante ist die einzige positive Nullstelle des Integrallogarithmus .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 Wir nennen einen Magma eine Quasigruppe , wenn es fรผr alle Elemente gibt, so dass und .
Wir schreiben und nennen the linke division und und nennen the rechte division .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Fรผr eine Gruppe , ein Element und eine Untergruppe von , definieren wir die linke Nebenklasse (und entsprechend die rechte Nebenklasse ) von und als (und ).
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Eine pronische Zahl , Rechteckzahl , oder Rechteckszahl ist eine natรผrliche Zahl , die das Produkt zweier aufeinanderfolgender natรผrlicher Zahlen ist.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Eine pronische Zahl , Rechteckzahl , oder Rechteckszahl ist eine natรผrliche Zahl , die das Produkt zweier aufeinanderfolgender natรผrlicher Zahlen ist.
- Definition, Concept Graph en
Von verschiedene Elemente und eines Rings werden linker Nullteiler and rechter Nullteiler genannt, falls . Ein Element das linker oder rechter Nullteiler ist nennen wir schlicht Nullteiler .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 mathml 2 Sei gegeben mit und .
Dann ist der linksseitige Grenzwert von in (auch: der Grenzwert von wenn von unten gegen strebt) definiert als diejenige Zahl , so dass fรผr jedes ein gibt so dass fรผr alle . Der linksseitige Grenzwert wird geschrieben als , oder .
Analog definieren wir den rechtsseitigen Grenzwert von in (auch: der Grenzwert von wenn von unten gegen strebt) definiert als diejenige Zahl , so dass fรผr jedes ein gibt so dass fรผr alle . Der linksseitige Grenzwert wird geschrieben als , oder .
- Definition, Concept Graph en
Rechtstrunkierbare Primzahlen sind Primzahlen , bei denen das Weglassen einer beliebigen Anzahl der letzten Stellen wieder zu einer Primzahl fรผhrt.
Zum Beispiel:
- Definition, Concept Graph en
Ein lateinisches Quadrat heiรt reduziert , auch normalisiert oder in Standardform , wenn in der ersten Zeile und in der ersten Spalte die verschiedenen Symbole in ihrer โnatรผrlichen Reihenfolgeโ stehen.
- Definition, Concept Graph en
Eine reelle Funktion (auch reellwertige Funktion ist eine Funktion deren Werte reelle Zahl en sind.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Menge der reellen Zahlen ist die Vervollstรคndigung von .
Wir schreiben und fรผr die Mengen der negativen reellen Zahlen und der positiven reellen Zahlen .
- Definition, Concept Graph en
Eine reelle Funktion (auch reellwertige Funktion ist eine Funktion deren Werte reelle Zahl en sind.
- Definition, Concept Graph en
Eine Folge von -Ulam-Zahlen ist regulรคr , wenn die Folge der Differenzen benachbarter Zahlen irgendwann periodisch wird.
- Definition, Concept Graph en
Wenn in einem Graph alle Ecken denselben Grad aufweisen, sagen wir , dann nennt man -regulรคr , oder schlicht regulรคr .
- Definition, Concept Graph en
Regulรคre Zahlen sind natรผrliche Zahlen , die Teiler einer Potenz von sind.
- Definition, Concept Graph en
Ist eine Folge mit oder , so definieren wir die -te Partialsumme durch .
Die durch induzierte Reihe ist die Partialsummenfolge .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Zwei natรผrliche Zahlen sind genau dann teilerfremd oder relativ prim , wenn deren grรถรter gemeinsamer Teiler ist.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr ro en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 mathml 0 Die Differenz von Mengen und ist definiert als .
Wir nennen auch das relative Komplement oder einfach das Komplement von in . Ist klar aus dem Kontext schreiben wir auch fรผr das Komplement von in .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Eine Repunit-Zahl besteht nur aus Einsen.
Die Repunit Zahlen zur Basis erhรคlt man durch fรผr und .
Eine Repunit-Primzahl ist eine Repunit-Zahl, die auch Primzahl ist.
- Definition, Concept Graph en
Eine Repunit-Zahl besteht nur aus Einsen.
Die Repunit Zahlen zur Basis erhรคlt man durch fรผr und .
Eine Repunit-Primzahl ist eine Repunit-Zahl, die auch Primzahl ist.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Eine Repunit-Zahl besteht nur aus Einsen.
Die Repunit Zahlen zur Basis erhรคlt man durch fรผr und .
Eine Repunit-Primzahl ist eine Repunit-Zahl, die auch Primzahl ist.
- Definition, Concept Graph en
Ganzzahlige Division berechnet den ganzzahligen Quotienten (oder Modulus ) zweier ganzen Zahl en und . ist definiert als dasjenige , so dass fรผr ein . Wir nennen den Rest uns schreiben fรผr .
- Definition, Concept Graph en
Ganzzahlige Division berechnet den ganzzahligen Quotienten (oder Modulus ) zweier natรผrlichen Zahl en und . ist definiert als dasjenige , so dass fรผr ein . Wir nennen den Rest uns schreiben fรผr .
- Definition, Concept Graph en
Ein reziproke-Primzahl-Magisches-Quadrat ist ein magisches Quadrat , dessen Eintrรคge aus den Ziffer n der Dezimaldarstellung des Reziproken einer Primzahl gebildet werden.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die folgende unendliche Reihe konvergiert fรผr alle komplexen Zahlen mit einem Realteil grรถรer als
mit .
Die Riemannsche Zetafunction einer komplexen Variablen ist die analytische Fortsetzung der obigen Funktion auf alle komplexen Zahlen.
- Definition, Concept Graph en
Die Riemannโsche Vermutung ist die Vermutung, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion den Realteil haben.
- Definition, Concept Graph en
Eine Riesel-Zahl ist eine ungerade Zahl , fรผr die die Folge mit keine Primzahlen enthรคlt.
- Definition, Concept Graph en
Ein Ringoid ist eine Struktur in der die Verknรผpfungen distributiv sind, also und fรผr alle .
- Definition, Concept Graph en
Eine Schnapszahl ( repdigit ) ist eine mehrstellige Zahl, die ausschlieรlich durch identische Ziffer n dargestellt wird.
Die Darstellung der Schnapszahlen zur Basis ist fรผr , und .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die Schrรถder-Hipparchus-Zahl (oder super-Catalan-Zahl ) ist die Anzahl der ebenen Bรคume mit Blรคttern.
Die ersten Schrรถder-Hipparchus-Zahlen sind:
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die Schrรถder-Hipparchus-Zahl (oder super-Catalan-Zahl ) ist fรผr natรผrliche Zahl definiert als
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Schrรถder-Hipparchus-Zahlen (oder super-Catalan-Zahlen ) werden fรผr natรผrliche Zahl rekursiv definiert:
- Definition, Concept Graph en
Eine Schrรถder-Zahl ist die Anzahl der Wege von der sรผdwest-Ecke eines quadratischen Gitters zur nordost-Ecke , unter Verwendung von Einzelschritten in Richtung Nord, Nordost oder Ost ohne die SW-NO Diagonale zu รผberschreiten.
Die ersten Schrรถder-Zahlen sind .
- Definition, Concept Graph en
Ein schwachbesetztes Antimagisches Quadrat der Ordnung ist eine Anordnung der Zahlen bis () und Nullen in ein Quadrat, so dass die Summen der Zeilen und Spalten eine Folge von aufeinanderfolgenden Zahlen bilden.
- Definition, Concept Graph en
Ein schwachbesetztes totales antimagisches Quadrat der Ordnung ist eine Anordnung der Zahlen bis () und Nullen in ein Quadrat, so dass die Summen der Zeilen, Spalten und Diagonalen eine Folge von aufeinanderfolgenden Zahlen bilden.
- Definition, Concept Graph en
Schwache Primzahlen sind Primzahlen , die nach รnderung einer beliebigen einzelnen Ziffer in eine beliebige andere Ziffer keine Primzahl mehr sind.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die sechste Smarandache-Konstante ist definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion .
Die Summe konvergiert .
.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die sechzehnte Smarandache-Konstante ist definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion .
Die Summe konvergiert fรผr alle reellen Zahlen .
- Definition, Concept Graph en
Wenn in einem Graph , der einen Kreis enthรคlt, eine Kante von zwei Ecken des Kreises verbindet, selbst aber nicht zum Kreis gehรถrt, so ist diese Kante eine Sehne des Kreises . Ein Kreis in ist genau dann sehnenlos , wenn er als Teilgraph in induziert ist.
- Definition, Concept Graph en
Wenn in einem Graph , der einen Kreis enthรคlt, eine Kante von zwei Ecken des Kreises verbindet, selbst aber nicht zum Kreis gehรถrt, so ist diese Kante eine Sehne des Kreises . Ein Kreis in ist genau dann sehnenlos , wenn er als Teilgraph in induziert ist.
- Definition, Concept Graph en
Eine Selbst-Zahl , Kolumbianische Zahl oder Devlali-Zahl ist eine positive ganze Zahl , die in einer gegebenen Zahlenbasis nicht erzeugt werden kann, indem man zu einer anderen positiven ganzen Zahl die Quersumme dieser anderen Zahl addiert.
- Definition, Concept Graph en
Semi-magische Quadrate sind wie magische Quadrate , ohne dass die Summe der Diagonalen mit der magischen Konstanten รผbereinstimmen muss.
- Definition, Concept Graph en
Sei ein gerichteter Graph , dann nennen wir einen Knoten
-
โข
initial (oder eine Quelle ) in , wenn es kein gibt, so dass .
-
โข
terminal (oder Senke ) in , wenn es kein gibt, so dass .
-
โข
- Definition, Concept Graph en
Eine sichere Primzahl ist eine Primzahl , fรผr die auch eine Primzahl ist.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die siebente Smarandache-Konstante ist fรผr eine natรผrliche Zahl definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion .
Die Summe konvergiert .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Sierpinski-Konstante w ird definiert durch
Dabei ist die Anzahl der Darstellungen der Zahl als Summe von zwei Quadraten ganzer Zahlen.
.
- Definition, Concept Graph en
Eine Sierpinski-Zahl ist eine ungerade Zahl , fรผr die die Folge mit keine Primzahlen enthรคlt.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Das Vorzeichen , (auch Signum , Signatur oder Paritรคt ) einer Permutation auf einer englich en total geordneten Menge ist fรผr gerade Permutationen und sonst:
- Definition, Notations, Concept Graph zhs en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Das Vorzeichen , (auch Signum , Signatur oder Paritรคt ) einer Permutation auf einer englich en total geordneten Menge ist fรผr gerade Permutationen und sonst:
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Der Silberne Schnitt ist eine reelle Zahl , definiert durch
Damit wird und
- Definition, Concept Graph en
Die Silver-Konstante ist die reelle Lรถsung der Gleichung
Also ist sie gegeben als . Ihr numerischer Wert ist etwa .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Skewes-Zahl (oder erste Skewes-Zahl ) ist eine Obergrenze, bis zu der nicht immer gilt, vorausgesetzt, die Riemann-Hypothese ist wahr. Dabei ist die Anzahl der Primzahlen bis und ist der Integrallogarithmus .
.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 Die Smarandache-Funktion oder ist fรผr eine gegebene positive ganze Zahl die kleinste natรผrliche Zahl, deren Fakultรคt durch teilbar ist.
- Definition, Concept Graph
Eine Smarandache-Wellin-Primzahl ist eine Smarandache-Wellin-Zahl , die auch Primzahl ist.
- Definition, Concept Graph en
Eine Smarandache-Wellin-Zahl ist eine natรผrliche Zahl , die in einer gegebenen Basis durch Aneinanderreihung der ersten Primzahlen gebildet wird.
Die ersten Smarandache-Wellin-Zahlen im Dezimalsystem sind:
- Definition, Concept Graph en
Eine natรผrliche Zahl , die zu keinem freundlichem Paar gehรถrt, wird als solitary bezeichnet.
- Definition, Concept Graph en
Eine Primzahl ist eine Sophie-Germain-Primzahl wenn auch eine Primzahl ist.
- Definition, Concept Graph en
Soziale Zahlen sind ganze Zahlen deren Aliquot-Summen eine zyklische Folge bilden, die mit der gleichen Zahl beginnt und endet.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 Die spezielle lineare Gruppe vom Grad รผber einem Kรถrper ist die Menge der Matritzen mit Determinante und den Operationen Matritzenmultiplikation sowie Matritzeninversion .
- Definition, Concept Graph en
Als Sphenische Zahlen werden die natรผrlichen Zahlen bezeichnet, die das Produkt genau dreier verschiedener Primzahlen sind.
- Definition, Concept Graph en
Paarweise nichtadjazente Ecken oder Kanten eines Graph werden unabhรคngig genannt. Eine Menge von Ecken oder Kanten wird unabhรคngig genannt, wenn es keine zwei Elemente gibt, die adjazent sind. Unabhรคngige Eckenmengen werden auch stabile Mengen genannt.
- Definition, Concept Graph en
Ein Stammbruch ist eine als Bruch geschriebene rationale Zahl , deren Zรคhler und deren Nenner eine positive ganze Zahl ist.
- Definition, Concept Graph en
Die Ulam-Zahlen bilden eine ganzzahlige Folge . Die Standard-Ulam-Folge beginnt mit und . Fรผr wird dann definiert als die kleinste ganze Zahl, die sich auf genau eine Weise als Summe zweier verschiedener vorhergehender Ulam-Zahlen darstellen lรคsst.
Die ersten Zahlen sind
- Definition, Concept Graph en
Ein lateinisches Quadrat heiรt reduziert , auch normalisiert oder in Standardform , wenn in der ersten Zeile und in der ersten Spalte die verschiedenen Symbole in ihrer โnatรผrlichen Reihenfolgeโ stehen.
- Definition, Concept Graph en
Eine starke Primzahl ist eine Primzahl , die grรถรer als das arithmetischen Mittel der nรคchstkleineren und der nรคchstgrรถรeren Primzahl ist.
Dabei ist die -te Primzahl.
- Definition, Concept Graph en
Ein Stellenwertsystem (auch Positionssystem oder polyadisches Zahlensystem genannt) ist ein Nummernsystem , bei dem die Wertigkeit einer Ziffer (auch Zahlzeichen ) von der Stelle abhรคngt.
Ein Stellenwertsystem fรผr einen for a Zahlenbereich ist durch ein Paar gegeben, wobei eine endlich e Menge von Ziffer n (wir nennen die Basis oder Grundzahl von ) und einer eine injective Abbildung von nach ist.
Die -adische Notation erweitert zu einer bijektiven Abbildung von endlichen Folgen รผber nach mittels der Arithmetik von . Eine endliche Folge wird als eine Summe der sukzessiven Potenzen multipliziert mit . Die Details variieren mit .
- Definition, Concept Graph en
Wenn es fรผr eine Primzahl keine kleinere Primzahl und eine positive ganze Zahl gibt, so dass
gilt, dann ist eine Stern-Primzahl .
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die Abbildung von einem Alphabet auf heiรt Kleenesche Hรผlle , endlicher Abschluss , Kleene-* Abschluss , Verkettungshรผlle oder Sternhรผlle . heiรt endlicher Abschluss oder Kleene-+ Abschluss ,
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Eine Struktur fasst mehrere existierende mathematische Objekte (die Komponenten ) zu einem neuen Objekt zusammen. Strukturen werden normalerweise als endliche Aufzรคhlungen ihrer Komponenten gegeben, die durch spezielle Namen referenziert werden kรถnnen.
- Definition, Concept Graph en
Sei , dann nennen wir eine unendliche Reihe eine subharmonische Reihe .
- Definition, Concept Graph en
Eine erhabene Zahl oder sublime Zahl ist eine natรผrliche Zahl , bei der die Anzahl und die Summe ihrer Teiler vollkommene Zahlen sind.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Subtraktion berechnet die Differenz von und durch .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Subtraktion berechnet die Differenz und . Sie ist definiert als dasjenige โ wenn es existiert, so dass .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Subtraktion berechnet die Differenz Zahl en und . Sie ist definiert als diejenige Zahl โ wenn sie existiert, so dass .
- Definition, Concept Graph en
Ist in Alphabet , so sagen wir dass ein Wort ein Teilwort ( Teilkette ) eines Wortes (schreibe ), falls es Worte gibt, so dass . Ist oder , so nennen wir ein echtes Teilwort ( echte Teilkette ) von und schreiben .
Ist , so nennen wir einen Prรคfix von und schreiben , ist ausserdem so ist ein echter Prรคfix von und wir schreiben . Analog gilt: ist , so nenne wir einen Suffix von , ist ausserdem echter Suffix von .
- Definition, Concept Graph en
Addition berechnet die Summe von und . Wir definieren und , wobei die Nachfolgerfunktion ist.
- Definition, Concept Graph en
Eine Summen-Produkt-Zahl ist eine natรผrliche Zahl , die in einer gegebenen Zahlenbasis gleich dem Produkt Ihrer Quersumme und ihres Querproduktes ist.
- Definition, Concept Graph en
Die summierte Mangoldt-Funktion
wird auch als Tschebyschow-Funktion bezeichnet.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die Schrรถder-Hipparchus-Zahl (oder super-Catalan-Zahl ) ist die Anzahl der ebenen Bรคume mit Blรคttern.
Die ersten Schrรถder-Hipparchus-Zahlen sind:
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die Schrรถder-Hipparchus-Zahl (oder super-Catalan-Zahl ) ist fรผr natรผrliche Zahl definiert als
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Schrรถder-Hipparchus-Zahlen (oder super-Catalan-Zahlen ) werden fรผr natรผrliche Zahl rekursiv definiert:
- Definition, Concept Graph en
Eine supersingulรคre Primzahl ist ein Primfaktor der Ordnung der Monstergruppe :
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 3 Sei eine geordnete Menge und , dann nennen wir die kleinste obere Schranke (grรถรte untere Schranke ) von das Supremum ( Infimum ) von (falls dies existiert).
Ist ein Ausdruck und eine Bedingung (in einer Variablen ), so schreiben wir fรผr und nennen es das supremum fรผr รผber . Analog schreiben wir fรผr und nennen es das infimum fรผr รผber .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Sei eine geordnete Menge und , dann nennen wir die kleinste obere Schranke (grรถรte untere Schranke ) von das Supremum ( Infimum ) von (falls dies existiert).
Ist ein Ausdruck und eine Bedingung (in einer Variablen ), so schreiben wir fรผr und nennen es das supremum fรผr รผber . Analog schreiben wir fรผr und nennen es das infimum fรผr รผber .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Suptraktion berechnet die Differenz von und und ist definiert als .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die Sylvester-Folge ist eine Folge ganzer Zahlen , von denen jede das um vergrรถรerte Produkt der vorhergehenden Zahlen ist.
Die ersten Zahlen sind (beginnend mit )
- Definition, Concept Graph en
Fรผr eine Mente nennen wir eine Funktion eine Abstandsfunktion (or Metrik ) auf , falls die folgenden drei Eigenschaften fรผr alle gelten:
-
1.
gdw. ( Definitheit ),
-
2.
( Symmetrie ) und
-
3.
( Dreiecksungleichung ).
Wir nennen einen metrischen Raum mit Grundmenge und Metrik .
-
1.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die symmetrische Gruppe รผber eine endlich e n Menge ist die Gruppe deren Elemente die bijektiv en Funktionen von nach sind mit Komposition a ls Operation.
- Definition, Concept Graph en
Ein assoziatives magisches Quadrat oder symmetrisches magisches Quadrat ist ein magisches Quadrat , bei dem die Summen zweier Elemente, die symmetrisch zum Mittelpunkt liegen, gleich sind.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Fรผr einen Graph ist die minimale Lรคnge eines in enthaltenen Kreis es die Taillenweite von , die maximale Lรคnge eines in enthaltenen Kreis es ist der Umfang von . Fรผr einen Graph, der keinen Kreis enthรคlt, setzen wir die Taillenweite auf , sein Umfang wird auf Null gesetzt.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die -te Taxicab-Zahl ist definiert als die kleinste natรผrliche Zahl , die sich auf verschiedene Arten als Summe zweier Kubikzahlen darstellen lรคsst.
Zum Beispiel:
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 3 Sei eine reellwertige oder komplexe Funktion die glatt ist auf einem Hรคufungspunkt des Definitionsbereichs von , dann nennen wir die Reihe
die Taylorreihe fรผr am Entwicklungspunkt . Ist , so nennen wir die Reihe die Mclaurinreihe .
- Definition, Concept Graph en
Fรผr ein definieren wir die te Ableitung einer Funktion durch
Die erste Ableitung von ist , ist die zweite Ableitung von , die dritte Ableitung von , usw. In der Leibniz Notation wird die te Ableiguntsfunktion von als geschrieben.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 3 mathml 0 Gegeben eine Basis , eine Menge von Ziffer n und eine Bijektion , dann ist die Darstellung einer Zahl zur Basis die endliche Folge , falls .
Wir nennen die te Ziffer von (zur Basis ) und schreiben .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Fรผr ganze Zahlen und nennen wir einen Teiler von (und sagen teilt oder ist teilbar durch ) und ein Vielfaches von , wenn es eine ganze Zahl gibt, fรผr die ist. Wir schreiben dann .
Ist keiner der trivialen Teiler , , und , so nennt man einen echten oder nichttrivialen Teiler von .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Fรผr ganze Zahlen und nennen wir einen Teiler von (und sagen teilt oder ist teilbar durch ) und ein Vielfaches von , wenn es eine ganze Zahl gibt, fรผr die ist. Wir schreiben dann .
Ist keiner der trivialen Teiler , , und , so nennt man einen echten oder nichttrivialen Teiler von .
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 mathml 0 mathml 0 Die Teileranzahlfunktion ist die Summe der positiven Teiler von .
Andere Notationen: , ,
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Zwei natรผrliche Zahlen sind genau dann teilerfremd oder relativ prim , wenn deren grรถรter gemeinsamer Teiler ist.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 1 Die Teilerfunktion ist definiert als die Summe der -ten Potenzen der positiven Teiler von .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die Summe aller echten Teiler von bezeichnet man als Teilersumme und schreibt .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 Die Teilersummenfunktion (auch ) ist die Summe der positiven Teiler von , also .
- Definition, Concept Graph en
Ist in Alphabet , so sagen wir dass ein Wort ein Teilwort ( Teilkette ) eines Wortes (schreibe ), falls es Worte gibt, so dass . Ist oder , so nennen wir ein echtes Teilwort ( echte Teilkette ) von und schreiben .
Ist , so nennen wir einen Prรคfix von und schreiben , ist ausserdem so ist ein echter Prรคfix von und wir schreiben . Analog gilt: ist , so nenne wir einen Suffix von , ist ausserdem echter Suffix von .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Fรผr ganze Zahlen und nennen wir einen Teiler von (und sagen teilt oder ist teilbar durch ) und ein Vielfaches von , wenn es eine ganze Zahl gibt, fรผr die ist. Wir schreiben dann .
Ist keiner der trivialen Teiler , , und , so nennt man einen echten oder nichttrivialen Teiler von .
- Definition, Concept Graph en
Ein ungeordnetes Paar heiรt Teilung von , wenn und keine Kante zwischen und hat. Letzteres ist offensichtlich รคquivalent zu der Aussage, dass von durch getrennt wird. Wenn weder noch leer ist, heiรt die Teilung echt. Die Zahl ist die Ordnung der Teilung .
- Definition, Concept Graph en
Ist in Alphabet , so sagen wir dass ein Wort ein Teilwort ( Teilkette ) eines Wortes (schreibe ), falls es Worte gibt, so dass . Ist oder , so nennen wir ein echtes Teilwort ( echte Teilkette ) von und schreiben .
Ist , so nennen wir einen Prรคfix von und schreiben , ist ausserdem so ist ein echter Prรคfix von und wir schreiben . Analog gilt: ist , so nenne wir einen Suffix von , ist ausserdem echter Suffix von .
- Definition, Concept Graph en
Sei ein gerichteter Graph , dann nennen wir einen Knoten
-
โข
initial (oder eine Quelle ) in , wenn es kein gibt, so dass .
-
โข
terminal (oder Senke ) in , wenn es kein gibt, so dass .
-
โข
- Definition, Concept Graph en
Eine Thabit-Zahl ist eine ganze Zahl der Form
mit der nicht-negativen ganzen Zahl .
- Definition, Concept Graph zhs en
Wir nennen eine Struktur aus einer Menge und einer totalen Ordnung eine total geordnete Menge .
- Definition, Concept Graph zhs
Eine partielle Ordnung heiรt lineare Ordnung (auch einfache Ordnung oder totale Ordnung ), falls oder fรผr alle .
- Definition, Concept Graph
Wir nennen eine Metrik auf der Grundmenge eines Vektorraums Vektoraddition translationsinvariant , wenn fรผr alle .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Ist eine binรคre Relation, so nennen wir die kleinste transitive , reflexive Relation die enthรคlt den transtiv-reflexiven Abschluss von und schreiben sie als .
- Definition, Concept Graph en
Wenn in einem Graph Teilmengen und gibt und wenn jeder โ-Weg eine Ecke oder eine Kante aus enthรคlt, so trennt die Mengen und in und ist ein โ-Trenner. Es gilt dann insbesondere . Allgemeiner trennt den Graphen , wenn in zwei Ecken aus trennt. Eine Ecke, die zwei andere Ecken derEcken der gleichen Komponente trennt, heit Artikulation Eine Kante heiรt Brรผcke wenn sie ihre Endecken trennt. Dies ist offenbar genau dann der Fall wenn sie auf keinem Kreis liegt.
- Definition, Concept Graph en
Eine Gruppe heiรt trivial wenn die Einermenge ist. Da alle trivial en Gruppen isomorph sind, sprechen wir von der trivialen Gruppe .
- Definition, Concept Graph en
Eine Gruppe heiรt trivial wenn die Einermenge ist. Da alle trivial en Gruppen isomorph sind, sprechen wir von der trivialen Gruppe .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Fรผr ganze Zahlen und nennen wir einen Teiler von (und sagen teilt oder ist teilbar durch ) und ein Vielfaches von , wenn es eine ganze Zahl gibt, fรผr die ist. Wir schreiben dann .
Ist keiner der trivialen Teiler , , und , so nennt man einen echten oder nichttrivialen Teiler von .
- Definition, Concept Graph en
Die summierte Mangoldt-Funktion
wird auch als Tschebyschow-Funktion bezeichnet.
- Definition, Concept Graph en
Uban-Zahlen sind ganze Zahlen , deren englischer Name nicht den Buchstaben โuโ enthรคlt (d.h., โuโ ist verbannt). Die ersten Zahlen sind
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Die Ulam-Zahlen bilden eine ganzzahlige Folge . Die Standard-Ulam-Folge beginnt mit und . Fรผr wird dann definiert als die kleinste ganze Zahl, die sich auf genau eine Weise als Summe zweier verschiedener vorhergehender Ulam-Zahlen darstellen lรคsst.
Die ersten Zahlen sind
- Definition, Concept Graph en
Ein Ultramagisches Quadrat ist ein Magisches Quadrat , das sowohl ein Panmagisches Quadrat als auch ein assoziatives magisches Quadrat ist.
- Definition, Concept Graph en
Fรผr einen Graph ist die minimale Lรคnge eines in enthaltenen Kreis es die Taillenweite von , die maximale Lรคnge eines in enthaltenen Kreis es ist der Umfang von . Fรผr einen Graph, der keinen Kreis enthรคlt, setzen wir die Taillenweite auf , sein Umfang wird auf Null gesetzt.
- Definition, Concept Graph en
Paarweise nichtadjazente Ecken oder Kanten eines Graph werden unabhรคngig genannt. Eine Menge von Ecken oder Kanten wird unabhรคngig genannt, wenn es keine zwei Elemente gibt, die adjazent sind. Unabhรคngige Eckenmengen werden auch stabile Mengen genannt.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 3 Ist eine Folge mit oder , so definieren wir die unendliche Summe als den Grenzwert der Partialsummenfolge , falls dieser existiert.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die Unendlichkeit (schreibe ) ist ein abstraktes Konzept, das auf Begriffe und Objekte angewendet wird, die keine Grenze haben. In der Mathematik wird sie meist wie eine Zahl behandelt.
- Definition, Concept Graph zhs en
Wir nennen eine Permutation auf einer englich en total geordneten Menge gerade bzw. ungerade , falls das ist; die Eigenschaft gerade oder ungerade zu sein heiรt die Paritรคt von .
- Definition, Concept Graph en
Sei eine quasigeordnete Menge und , dann nennen wir eine obere Schranke von , wenn fรผr alle und eine untere Schranke , falls fรผr alle .
- Definition, Concept Graph en
Ein nicht leerer Graph wird zusammenhรคngender enannt, wenn je zwei seiner Ecken durch einen Weg verbunden sind. Wenn fรผr eine Teilmenge der Eckenmenge der induzierte Teilgraph adefi[connected]zusammenhรคngend ist, so nennen wir zusammenhรคngend in . Als Verneinung ziehen wir โ unzusammenhรคngend der Formulierung โ nicht vor.
- Definition, Concept Graph en
Der Grad (oder die Valenz ) einer Ecke ist die Anzahl der mit inzidenten Kanten, dies ist auch die Anzahl der Nachbarn von . Die Zahl heiรt Minimalgrad von , und ist sein Maximalgrad . Die Zahl nennt man den Durchschnittsgrad von .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Sei ein -dimensionaler Vektorraum und eine Basis , dann definieren wir das Vektorprodukt der Vektoren durch
- Definition, Concept Graph en
Eine verallgemeinerte Cullen-Zahl ist eine natรผrliche Zahl der Form
mit .
Wenn eine Primzahl in dieser Form dargestellt werden kann, nennt man sie eine verallgemeinerte Cullen-Primzahl .
- Definition, Concept Graph en
Eine verallgemeinerte Cullen-Zahl ist eine natรผrliche Zahl der Form
mit .
Wenn eine Primzahl in dieser Form dargestellt werden kann, nennt man sie eine verallgemeinerte Cullen-Primzahl .
- Definition, Concept Graph en
Verallgemeinerte harmonische Reihen sind Reihen der Form
mit reellen Zahlen und .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 3 mathml 0 Die verallgemeinerte Taxicab-Zahl ist die kleinste natรผrliche Zahl , die sich auf verschiedene Arten als Summe von -ten Potenzen darstellen lรคsst.
Zum Beispiel:
- Definition, Concept Graph en
Eine verallgemeinerte Woodall-Zahl ist eine natรผrliche Zahl der Form
mit .
Wenn eine Primzahl in dieser Form dargestellt werden kann, nennt man sie eine verallgemeinerte Woodall-Primzahl .
- Definition, Concept Graph en
Eine verallgemeinerte Woodall-Zahl ist eine natรผrliche Zahl der Form
mit .
Wenn eine Primzahl in dieser Form dargestellt werden kann, nennt man sie eine verallgemeinerte Woodall-Primzahl .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs tr ro en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Sind und Mengen , so heiรt die Vereinigung von und .
- Definition, Notations, Concept Graph zhs en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die Verkettung zweier Relationen und ist definiert as
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die Abbildung von einem Alphabet auf heiรt Kleenesche Hรผlle , endlicher Abschluss , Kleene-* Abschluss , Verkettungshรผlle oder Sternhรผlle . heiรt endlicher Abschluss oder Kleene-+ Abschluss ,
- Definition, Concept Graph en
Eine vielfache Harshad-Zahl ist eine Harshad-Zahl die nach Division durch die Summe ihrer Ziffern wieder eine Harshad-Zahl ist.
- Definition, Concept Graph en
Fรผr ganze Zahlen und nennen wir einen Teiler von (und sagen teilt oder ist teilbar durch ) und ein Vielfaches von , wenn es eine ganze Zahl gibt, fรผr die ist. Wir schreiben dann .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die vierten Smarandache-Konstanten sind definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion .
Die Summe konvergiert fรผr alle reellen Zahlen .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Die vierzehnte Smarandache-Konstante ist definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion .
Die Summe konvergiert fรผr alle reellen Zahlen .
- Definition, Concept Graph en
Eine natรผrliche Zahl wird vollkommene Zahl (auch perfekte Zahl ) genannt, wenn sie gleich der Summe aller ihrer (positiven) echten Teiler ist.
- Definition, Concept Graph en
Ein metrischer Raum heiรt vollstรคndig (oder vollstรคndiger Raum ), wenn in ihm jede Cauchyfolge konvergent ist.
- Definition, Concept Graph en
Wenn in einem Graph alle Ecken paarweise adjazent sind, dann nennen wir vollstรคndig . Ein vollstรคndiger Graph auf Ecken wird mit bezeichnet.
- Definition, Concept Graph en
Wenn in einem Graph alle Ecken paarweise adjazent sind, dann nennen wir vollstรคndig . Ein vollstรคndiger Graph auf Ecken wird mit bezeichnet.
- Definition, Concept Graph en
Ein metrischer Raum heiรt vollstรคndig (oder vollstรคndiger Raum ), wenn in ihm jede Cauchyfolge konvergent ist.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Das Vorzeichen , (auch Signum , Signatur oder Paritรคt ) einer Permutation auf einer englich en total geordneten Menge ist fรผr gerade Permutationen und sonst:
- Definition, Concept Graph en
Eine Wagstaff-Primzahl ist eine Primzahl der Form
wobei auch eine Primzahl ist.
- Definition, Concept Graph en
Eine Primzahl ist eine Wall-Sun-Sun-Primzahl oder Fibonacci-Wieferich-Primzahl , wenn die Fibonacci-Zahl teilt, wobei fรผr das Legendre-Symbol gilt
Eine Primzahl ist eine Wall-Sun-Sun-Primzahl , wenn gilt. Dabei ist die -te Lucas-Zahl .
- Definition, Concept Graph en
Eine Wieferich-Primzahl ist eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass durch teilbar ist, also
- Definition, Concept Graph en
Eine Wilson-Zahl ist eine ganze Zahl , fรผr die gilt. Dabei ist der Wilson-Quotient .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 In wissenschaftlicher Notation werde Zahlen in der Form dargestellt, ( mal 10 hoch ), dabei nennen wir die Mantisse .
Wir sprechen von normalisierten Gleitkommazahlen , falls .
- Definition, Concept Graph en
Eine Wolstenholme-Primzahl ist eine Primzahl , die eine der folgenden รคquivalenten Bedingungen erfรผllt:
-
1.
Der Zรคhler von ist durch teilbar.
-
2.
Der Zรคhler von ist durch teilbar.
-
3.
Es gilt die Kongruenz :
-
4.
Es gilt die Kongruenz
-
5.
Der Zรคhler der Bernoulli-Zahl ist durch teilbar.
-
1.
- Definition, Concept Graph en
Eine Woodall-Zahl ist eine natรผrliche Zahl der Form mit einer natรผrlichen Zahl . Woodall-Zahlen werden manchmal auch als Cullen-Zahlen der zweiten Art bezeichnet.
Woodall-Zahlen die Primzahlen sind werden als Woodall-Primzahlen bezeichnet.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Eine Woodall-Zahl ist eine natรผrliche Zahl der Form mit einer natรผrlichen Zahl . Woodall-Zahlen werden manchmal auch als Cullen-Zahlen der zweiten Art bezeichnet.
Woodall-Zahlen die Primzahlen sind werden als Woodall-Primzahlen bezeichnet.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 Eine Woodall-Zahl ist eine natรผrliche Zahl der Form mit einer natรผrlichen Zahl . Woodall-Zahlen werden manchmal auch als Cullen-Zahlen der zweiten Art bezeichnet.
Woodall-Zahlen die Primzahlen sind werden als Woodall-Primzahlen bezeichnet.
- Definition, Concept Graph en
Ein Alphabet ist eine endliche Menge; wir nenn jedes Element einen Buchstaben und ein -Tupel ein Wort (oder Zeichenkette ) รผber . Wir schreiben ein Wort als oder sogar und das leere Wort ( leere Zeichenkette ) in als .
- Definition, Concept Graph en
Ist ein Alphabet, so definieren wir die Mengen der nichtleeren Worte ( nichtleeren Zeichenketten ) und Worte ( Zeichenketten ).
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 2 Fรผr , ist eine -te Wurzel von (wir schreiben ) falls .
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 2 Fรผr , ist eine -te Wurzel von (wir schreiben ) falls .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Die -te Wurzel einer Zahl ist dasjenige โ falls es existiert, so dass .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Die -te Wurzel einer Zahl ist diejenige Zahl โ falls sie existiert, so dass .
- Definition, Concept Graph en
Eine Wurzel eines Polynoms ist eine Nullstelle der zughรถrigen Polynomfunktion .
- Definition, Concept Graph en
Eine Zahl ist ein mathematisches Objekt das verwendet wird um andere Objekte zu zรคhlen oder messen.s
- Definition, Concept Graph en
Eine zahlentheoretische oder arithmetische Funktion ist eine Funktion , die jeder positiven natรผrlichen Zahl einen Funktionswert aus den reellen oder komplexen Zahlen zuordnet.
Diese Funktionen dienen in der Zahlentheorie dazu, Eigenschaften von natรผrlichen Zahlen , besonders deren Teilbarkeit zu beschreiben und zu untersuchen. Die Identische Funktion wird mit bezeichnet:
Folgende Symbole werden verwendet fรผr die Summe oder das Produkt
รผber alle Primzahlen รผber alle Primzahlpotenzen รผber alle Teiler von รผber alle Primteiler von รผber alle Primzahlpotenzen , die Teiler von sind - Definition, Concept Graph en
Die Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit den Eigenschaften der ganzen Zahlen beschรคftigt.
- Definition, Concept Graph en
Ein Stellenwertsystem (auch Positionssystem oder polyadisches Zahlensystem genannt) ist ein Nummernsystem , bei dem die Wertigkeit einer Ziffer (auch Zahlzeichen ) von der Stelle abhรคngt.
Ein Stellenwertsystem fรผr einen for a Zahlenbereich ist durch ein Paar gegeben, wobei eine endlich e Menge von Ziffer n (wir nennen die Basis oder Grundzahl von ) und einer eine injective Abbildung von nach ist.
Die -adische Notation erweitert zu einer bijektiven Abbildung von endlichen Folgen รผber nach mittels der Arithmetik von . Eine endliche Folge wird als eine Summe der sukzessiven Potenzen multipliziert mit . Die Details variieren mit .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 Der dekadische Logarithmus (oder Zehnerlogarithmus ) ist der Logarithmus zur Basis 10.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die zehnten Smarandache-Konstanten sind definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion .
Die Summe konvergiert fรผr alle reellen Zahlen .
- Definition, Concept Graph en
Ein Alphabet ist eine endliche Menge; wir nenn jedes Element einen Buchstaben und ein -Tupel ein Wort (oder Zeichenkette ) รผber . Wir schreiben ein Wort als oder sogar und das leere Wort ( leere Zeichenkette ) in als .
- Definition, Concept Graph en
Ist ein Alphabet, so definieren wir die Mengen der nichtleeren Worte ( nichtleeren Zeichenketten ) und Worte ( Zeichenketten ).
- Definition, Concept Graph en
Eine Zeisel-Zahl ist eine quadratfreie Zahl mit mindestens drei Primfaktoren , fรผr die gilt dabei sind und zwei ganzzahlige Konstanten und ist der Index der nach der Grรถรe geordneten Primfaktoren mit .
Zum Beispiel: ist eine Zeisel-Zahl mit und , da gilt
- Definition, Concept Graph en
Eine Zentral-Polygonal-Zahl ist die grรถรte Zahl von Teilen, in die ein Kreis (oder eine Ebene) durch gerade Schnitte zerlegt werden kann.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Zentrale Delannoy-Zahlen sind Delannoy-Zahlen fรผr ein quadratisches Gitter.
Die ersten zentralen Delannoy-Zahlen sind:
- Definition, Concept Graph en
Ein Stellenwertsystem (auch Positionssystem oder polyadisches Zahlensystem genannt) ist ein Nummernsystem , bei dem die Wertigkeit einer Ziffer (auch Zahlzeichen ) von der Stelle abhรคngt.
Ein Stellenwertsystem fรผr einen for a Zahlenbereich ist durch ein Paar gegeben, wobei eine endlich e Menge von Ziffer n (wir nennen die Basis oder Grundzahl von ) und einer eine injective Abbildung von nach ist.
Die -adische Notation erweitert zu einer bijektiven Abbildung von endlichen Folgen รผber nach mittels der Arithmetik von . Eine endliche Folge wird als eine Summe der sukzessiven Potenzen multipliziert mit . Die Details variieren mit .
- Definition, Concept Graph en
Eine Primzahl ist eine zirkulare Primzahl , wenn alle Zahlen, die durch zyklische Vertauschung ihrer Ziffer entstehen, auch Primzahlen sind.
Zum Beispiel ist eine zirkulare Primzahl, weil und auch Primzahlen sind.
- Definition, Concept Graph en
Eine zusammengesetzte Zahl ist eine natรผrliche Zahl , die auรser 1 und sich selbst mindestens einen positiven Teiler besitzt.
- Definition, Concept Graph en
Ein nicht leerer Graph wird zusammenhรคngender enannt, wenn je zwei seiner Ecken durch einen Weg verbunden sind. Wenn fรผr eine Teilmenge der Eckenmenge der induzierte Teilgraph adefi[connected]zusammenhรคngend ist, so nennen wir zusammenhรคngend in . Als Verneinung ziehen wir โ unzusammenhรคngend der Formulierung โ nicht vor.
- Definition, Concept Graph
Fรผr ein definieren wir die te Ableitung einer Funktion durch
Die erste Ableitung von ist , ist die zweite Ableitung von , die dritte Ableitung von , usw. In der Leibniz Notation wird die te Ableiguntsfunktion von als geschrieben.
- Definition, Notations, Concept Graph zhs en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 Wir nennen die erste Projektion und die zweite Projektion .
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die zweite Skewes-Zahl ist eine Obergrenze bis zu der nicht immer gilt, vorausgesetzt, die Riemann-Hypothese ist falsch.
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 0 Die zweite Smarandache-Konstante ist definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion .
- Definition, Concept Graph en
Die zweite Tschebyschow-Funktion ist die Summe der Logarithmen der Primzahlen รผber alle Primzahlpotenzen bis .
Wir haben also . Dabei ist die Mangoldt-Funktion .
- Definition, Concept Graph en
Eine Zwischenprimzahl ist das arithmetische Mittel zweier aufeinanderfolgender ungerader Primzahlen .
- Definition, Concept Graph en
Eine Gruppe die von einem einzigen Element erzeugt wird heiรt zyklische Gruppe .
- Definition, Concept Graph en
Eine zyklische Zahl ist eine natรผrliche Zahl , deren zyklische Permutationen ihrer Ziffer n aufeinanderfolgende Vielfache dieser Zahl sind.
- Definition, Concept Graph en
Eine รquidigital-Zahl ist eine natรผrliche Zahl , die genau so viel Ziffer n hat wie die Anzahl der Ziffer n in ihrer Primfaktorzerlegung (einschlieรlich der Exponenten grรถรer als ).
Die ersten Zahlen sind
- Definition, Notations, Concept Graph zhs en
Languages Arguments Rendering mathml 2 Seien eine Menge, eine รquivalenzrelation auf und , dann nennen wir die Menge die รquivalenzklasse von (unter ), und die Menge die Quotientenmenge von (unter ).
Wir nennen die Abbildung die Projektion von auf unter .
- Definition, Concept Graph zhs en
Eine Relation ist eine รquivalenzrelation auf , wenn reflexiv , symmetrisch und transitiv ist.
- Definition, Concept Graph zhs
ๅฝขๅฆ ็้็ณป่ขซๅซๅ
-
โข
ๅจไธๆฏ ่ชๅ็ , ็ถไธๅ ็ถๅฐไปปๆ , ้ฝๆ
-
โข
ๅจไธๆฏ ๅ่ชๅ็ , ็ถไธๅ ็ถๅฐไปปๆ , ้ฝๆ
-
โข
- Definition, Concept Graph zhs en
ไธๅๅ ็ด ็ ้ๆธ (ๆ ้ๅพฉๅบฆ )ๆฏๆ้ๅๅ ็ด ๅจๆญค ๅค้้ ไธญๅบ็พ็ๆฌกๆธใ
ๅค้้ ๆฏ ้ๅ ๆฆๅฟต็ๆจๅปฃใ ๅค้้ ๅ ่จฑๅไธๅๅ ็ด ๅบ็พๅคๆฌกใ
- Definition, Concept Graph zhs
ๅฝขๅฆ ็้็ณป่ขซๅซๅ
-
โข
ๅจไธๆฏ ่ชๅ็ , ็ถไธๅ ็ถๅฐไปปๆ , ้ฝๆ
-
โข
ๅจไธๆฏ ๅ่ชๅ็ , ็ถไธๅ ็ถๅฐไปปๆ , ้ฝๆ
-
โข
- Definition, Concept Graph zhs en
ไธๅๅ ็ด ็ ้ๆธ (ๆ ้ๅพฉๅบฆ )ๆฏๆ้ๅๅ ็ด ๅจๆญค ๅค้้ ไธญๅบ็พ็ๆฌกๆธใ
- Definition, Concept Graph zhs en
ไธๅๅ ็ด ็ ้ๆธ (ๆ ้ๅพฉๅบฆ )ๆฏๆ้ๅๅ ็ด ๅจๆญค ๅค้้ ไธญๅบ็พ็ๆฌกๆธใ
- Definition, Concept Graph
ๅฎไนไธบไธไธชๅไน้ด็๏ผไบๅ ๏ผ ๅ ณ็ณป ใๅฆๆๅ็งฐไธบ ไธ็ๅ ณ็ณป ใ
- Definition, Concept Graph en
็งฐ ๆๆ็ฉบ้ด ไธบ ไธ่ฟ้ ็๏ผๅฆๆๅฎๆฏไธคไธช ๅ็ฆป ้็ฉบ ๅผ ้ๅ็ ๅนถ้ ใ
่ฅไธไธช็ฉบ้ดๅนถ้ ไธ่ฟ้็ ๏ผๅ็งฐๅฎไธบ ่ฟ้ ็ใ
- Definition, Concept Graph tr en de
็งฐไธๆ้ๅ ไธคไธคๅ็ฆป ๆ่ ็ธไบๅ็ฆป ๏ผๅฆๆไปปๆๅ ถไธญ็ไธคไธช้ๅๆฏ ๅ็ฆป ็.
- Definition, Concept Graph
ๆไปฌ็งฐๅจไธ็ไธไธช ๅๅบ ไธบไธไธช ๅๅบ ๏ผๅฝไธไป ๅฝๅฎๆฏ ๅๅฏน็งฐ ็ใ ไธไน็ธๅฏนๅบ๏ผๆฏไธไธช ไธฅๆ ผๅๅบ .
ๆไปฌไน็จ ้ๅ ณ็ณป ๅใ
- Definition, Concept Graph
็จ(ๅฝขๅผ)ๅๅ ๅฎไนไบไธไธช-็ปด ๅฝๆฐ ใ่ฟ้ๆไปฌ็งฐ ไธบ ๆน็จๆจกๅ ๏ผ็งฐไธบ
ไธป ไฝ โโ่ฟๆฏไธไธช่ฝๅๆฌๅๅ ็่กจ่พพๅผใๆ นๆฎๅฎไน็็ญไปท๏ผ็จ็ธๅ็ๆนๆณๅฎไน็้ขๆใ
- Definition, Concept Graph en de
ไปคไธบไธไธช ้ๅ ๏ผๅไธไธช ๅบๆๆๅคซๆฏๅบ้ญๅ ็ฎๅญ (ๆ่ ้ญๅ ็ฎๅญ )ๆฏๆไธไธๆง่ดจ็ๅฝๆฐ
-
1.
( ็ฉบ้็ๅนถ้ๅฎๆ ใ
-
2.
ๅฏนๆๆ๏ผๆ( ๆฉๅฑๆง )
-
3.
( ไบๅ ๅนถ้ๅฎๆ )
-
4.
ๅฏนๆๆ๏ผๆ ( ๅน็ญ )
ๅฆๆๆฒกๆๅน็ญๅ ฌ็๏ผๆไปฌ็งฐๅ ถไธบ ้ข้ญๅ ็ฎๅญ ใ
ๆไปฌ็งฐไธไธช้ๅ ้ญ ้ๅ๏ผๅฝไธไป ๅฝใ
-
1.
- Definition, Notations, Concept Graph tr en de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 ไปคๅไธบ้ๅ๏ผๅๅฎไนๅ็ ไบค้ ไธบใ
- Definition, Concept Graph
็งฐไธไธชๅ ณ็ณปๅจไธๆฏ ไผ ้ ็๏ผๅฝไธไป ๅฝ ๅฏนไบๆๆ๏ผๆไปฅๅ ใ
- Definition, Notations, Concept Graph en de
Languages Arguments Rendering mathml 1 ไปคไธบไธไธชไบๅ ๅ ณ็ณป๏ผๅๆไปฌ็งฐๆๅฐ็ๅ ๅซ็ ไผ ้ ๅ ณ็ณปๅ ่ชๅ ๅ ณ็ณป ไธบ็ ไผ ้๏ผ่ชๅ้ญๅ ๏ผๅฐๅ ถ่ฎฐไฝ ใ
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 ็งฐไธไธช ๅ ณ็ณป ไธบๅจ ๅฎไนๅ (ๅไฝ) ๅ ๅผๅ (ๅไฝ)ไธ็ ๅๅฝๆฐ ๏ผๅฝไธไป ๅฝๅฏนไบๆๆๅญๅจๆๅคไธไธช ๆปก่ถณใ
ๆไปฌ่ฎฐไฝไปฅๅ ๏ผ่ไธๆฏใ
- Definition, Concept Graph en
็งฐไธไธช ๅ ณ็ณป ไธบๅจ ๅฎไนๅ (ๅไฝ) ๅ ๅผๅ (ๅไฝ)ไธ็ ๅๅฝๆฐ ๏ผๅฝไธไป ๅฝๅฏนไบๆๆๅญๅจๆๅคไธไธช ๆปก่ถณใ
ๆไปฌ่ฎฐไฝไปฅๅ ๏ผ่ไธๆฏใ
- Definition, Concept Graph
ๆไปฌ็งฐๅจไธ็ไธไธช ๅๅบ ไธบไธไธช ๅๅบ ๏ผๅฝไธไป ๅฝๅฎๆฏ ๅๅฏน็งฐ ็ใ ไธไน็ธๅฏนๅบ๏ผๆฏไธไธช ไธฅๆ ผๅๅบ .
ๆไปฌไน็จ ้ๅ ณ็ณป ๅใ
- Definition, Concept Graph en de
ๆไปฌ็งฐไธไธชๅจ ๆ้ ๅ จๅบ้ๅ ไธ็ ๆๅ ไธบ ๅฅ ๆ ๅถ ๏ผๅฝไธบๅฅๆไธบๅถ; ็งฐ่ฟไธชๅฅๆๅถ็ๆง่ดจไธบ็ ๅฅๅถๆง ใ
- Definition, Concept Graph
็งฐไธไธช ๅ ณ็ณป ไธบ ๅ จ ๅ ณ็ณป๏ผๅฝไธไป ๅฝๅฏนไบๆๆ๏ผ ๅญๅจ๏ผไฝฟๅพใ
- Definition, Concept Graph en
ๅฆๆไธบไธไธช ๅ จ ๅ ณ็ณป (ไนๅฐฑๆฏ่ฏด๏ผๅฏนไบๆๆๅญๅจๅฏไธ็ๆปก่ถณ )๏ผๆไปฌ็งฐไธบไธไธช ๅ จๅฝๆฐ ๅนถไธๅไฝใ
- Definition, Concept Graph de
ๆไปฌ็งฐไธไธช ๅๅบ ไธบไธไธช ๅ จๅบ (ๆ่ ็บฟๆงๆฌกๅบ )๏ผๅฝไธไป ๅฝๅฏนไบๆๆ๏ผๆ ๆ่ ใ
ๆไปฌ็งฐไธไธชๆ็ปๆไปฅๅๅ จๅบๆง่ดจ็้ๅไธบไธไธช ๅ จๅบ้ๅ ใ
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 ไปคไธบไธไธช ๆ้ ๅ จๅบ้ๅ ไปฅๅไปคไธบไธไธชไธ็ ๆๅ ใๆไปฌ็งฐไธไธช ๅฏน ไธบไธไธช ๅๅบ ๏ผๅฝไธไป ๅฝ๏ผไฝ ๆถใ ็งฐ ๆๅ ไธญๅ จๅบ็ไธชๆฐไธบ ๅ จๅบ็ๆฐ ใ
- Definition, Concept Graph en de
ๆไปฌ็งฐไธไธช ๅๅบ ไธบไธไธช ๅ จๅบ (ๆ่ ็บฟๆงๆฌกๅบ )๏ผๅฝไธไป ๅฝๅฏนไบๆๆ๏ผๆ ๆ่ ใ
ๆไปฌ็งฐไธไธชๆ็ปๆไปฅๅๅ จๅบๆง่ดจ็้ๅไธบไธไธช ๅ จๅบ้ๅ ใ
- Definition, Concept Graph
ๅฎไนไธบไธไธชๅไน้ด็๏ผไบๅ ๏ผ ๅ ณ็ณป ใๅฆๆๅ็งฐไธบ ไธ็ๅ ณ็ณป ใ
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 ๅฏนไบ็ปๅฎ้ๅๅๆไปฌ็งฐๆๆไปๅฐๅฐ(ๅ)ๆน็จ็้ๅ()ไธบๅฐ็(ๅ) ๅฝๆฐ็ฉบ้ด
- Definition, Concept Graph
ๆไปฌ็งฐไธ็ไธไธชไบๅ ๅ ณ็ณปไธบ ๅๅบ (ๆ่ ๆๅบ )๏ผๅฝไธไป ๅฝๅฎๆฏ ่ชๅ ็ๅ ไผ ้ ็ใ
- Definition, Concept Graph
ๆไปฌ็งฐไธไธชๅ ทๆ ๅๅบ ็้ๅ็็ปๆ ไธบไธไธช ๅๅบ้ๅ ใ
- Definition, Concept Graph en de
็งฐไธไธชๅฝๆฐ ๅฝๆฐ ไธบ ๅๅฐ ๏ผๅฝไธไป ๅฝๅฏนไบๆๆ๏ผๅฆๆ ๏ผๅๆใ
- Definition, Concept Graph en
ๅฎไน ๆๆ็ฉบ้ด ็ ๅก ไธบไธไธช็ ๅผ ๅญ้ๅฐ ๆฌงๅผ็ฉบ้ด ็ ๅผ ๅญ้็ ๅ่ ใ
- Definition, Concept Graph en de
็งฐไธไธชๆน็จๆฏ ๅๅฐ็ ๏ผๅฝไธไป ๅฝๆฏ ๅๅฐ ็ๅ ๆปกๅฐ ็ใ
- Definition, Concept Graph
็งฐๅ ณ็ณปไธบ
-
โข
ๅจไธๆฏ ๅฏน็งฐ ็๏ผๅฝไธไป ๅฝๅฏนไบๆๆ๏ผไปฅๅ๏ผๆ ใ
-
โข
ๅจไธๆฏ ้ๅฏน็งฐ ็๏ผๅฝไธไป ๅฝๅฏนไบๆๆ๏ผไปฅๅ๏ผๆ ใ
-
โข
ๅๅฏน็งฐ ็๏ผๅฝไธไป ๅฝไปฅๅ๏ผไฝฟๅพใ
-
โข
- Definition, Concept Graph en de
ไปคไธบไธไธช ๆ้ ๅ จๅบ้ๅ ไปฅๅไปคไธบไธไธชไธ็ ๆๅ ใๆไปฌ็งฐไธไธช ๅฏน ไธบไธไธช ๅๅบ ๏ผๅฝไธไป ๅฝ๏ผไฝ ๆถใ ็งฐ ๆๅ ไธญๅ จๅบ็ไธชๆฐไธบ ๅ จๅบ็ๆฐ ใ
- Definition, Concept Graph zht
็งฐๅฝขๅฆ็ๅ ณ็ณปไธบ
-
โข
ๅจไธ ่ชๅ , ๅฝไธไป ๅฝๅฏนไปปๆ , ้ฝๆ
-
โข
ๅจไธ ๅ่ชๅ , ๅฝไธไป ๅฝๅฏนไปปๆ , ้ฝๆ
-
โข
- Definition, Concept Graph en de
ๆไปฌ็งฐไธไธช ้ๅ ไธบ ๅฏๆฐ็ ๏ผๅฝไธไป ๅฝๅญๅจไธไธชไธๆๆ ๅๅฐ ๅฝๆฐ็ใ
- Definition, Concept Graph en
่ฎพๅ้ฝไธบ ๆๆ็ฉบ้ด ๏ผ ๅนถ่ฎพๅ้ฝๆฏๅฐ็ ่ฟ็ปญ ๅฝๆฐใ ๅฆๆๅญๅจไป ็ฉบ้ด ไธ็ ไน็งฏ ๅฐ็ ่ฟ็ปญ ๅฝๆฐไฝฟๅพๅฏนไบไปปไฝ ๏ผๅญๅจ๏ผไปฅๅ๏ผๅ็งฐๆฏ่ฟๆฅๅ็ ๅไผฆ ใ
- Definition, Concept Graph en
ๅฆๆๅญๅจ ่ฟ็ปญ ๆ ๅฐ ไปฅๅไฝฟๅพไธๅจไธ็ ๆ็ญๅฝๆฐ ๅไผฆ ๏ผไปฅๅ ไธไธ็ ๆ็ญๆ ๅฐ ๅไผฆ ๏ผ ๅ็งฐไธคไธช ๆๆ็ฉบ้ด ๅไธบ ๅไผฆ็ญไปท ็ใ
- Definition, Concept Graph en de
ไปคๅไธบ ๆๆ็ฉบ้ด ใ็งฐ ๆน็จ ไธบ ๅ่ ๏ผๅฆๆๅฎๆฏ ๅๅฐ ็ๅ ่ฟ็ปญ ็๏ผๅนถไธๆปก่ถณ ไนไธบ ่ฟ็ปญ ็ใ
- Definition, Concept Graph
ไปคไธบไธไธช้ๅ๏ผๅไธ็ ็ปด็ฌๅกๅฐ็ฉบ้ด ไธบใ ๆไปฌ็งฐไธบไธไธช ๅ้ ใ
- Definition, Notations, Concept Graph en de
Languages Arguments Rendering mathml 2 ไปคไธบไธไธช้ๅ๏ผไธบไธ็็ญไปทๅ ณ็ณป๏ผๅๅฏนไบไปปไฝ ๆไปฌ็งฐไธบ(ๅจไธ็) ็ญไปท็ฑป ๏ผๅนถ็งฐ้ๅ ไธบ(ๅจไธ็) ๅ็ฉบ้ด ใ ็งฐๆ ๅฐไธบๅฐ็ ๆๅฐ ใ
- Definition, Concept Graph en
ๅฎไน ๆๆ็ฉบ้ด ็ ๅพๅ ๏ผไธบไธ ๅก ็ ๆ้ ๏ผไฝฟๅพๅฎไปฌ็ๅ่ฝ่ฆ็ใ
- Definition, Notations, Concept Graph en de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 mathml 0 ๆไปฌๆไธไธช้ๅไธบ ๆ้ ็๏ผไปฅๅๆ ๅบๆฐ (ๆ่ ้ๅ็ๅคงๅฐ )๏ผๅฝไธไป ๅฝๅญๅจไธไธช ๅๅฐ ๅฝๆฐ ใ
้ๅ็ๅบๆฐไน่ขซๅไฝ๏ผ๏ผ๏ผๆ่ ใ
- Definition, Notations, Concept Graph en de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 ๅฎไนไธคไธชๅ ณ็ณปๅ็ ๅคๅ ไธบ
- Definition, Concept Graph en de
ๆไปฌ็จไบๅ ๅ ณ็ณป็ๅๅๆฅๆๅปบไธไธช ๅคๅ ๅ ณ็ณปๅผ ๏ผ ๆ็ซ๏ผๅฝไธไป ๅฝ่ไธ .
- Definition, Concept Graph zht en
ๅค้้ ๆฏ ้ๅ ๆฆๅฟต็ๆจๅนฟใ ๅค้้ ๅ ่ฎธๅไธไธชๅ ็ด ๅบ็ฐๅคๆฌกใ
ไธไธชๅ ็ด ็ ้ๆฐ (ๆ ้ๅคๅบฆ )ๆฏๆ่ฟไธชๅ ็ด ๅจๆญค ๅค้้ ไธญๅบ็ฐ็ๆฌกๆฐใ
- Definition, Concept Graph en de
ๆไปฌ็งฐไธไธชๅจ ๆ้ ๅ จๅบ้ๅ ไธ็ ๆๅ ไธบ ๅฅ ๆ ๅถ ๏ผๅฝไธบๅฅๆไธบๅถ; ็งฐ่ฟไธชๅฅๆๅถ็ๆง่ดจไธบ็ ๅฅๅถๆง ใ
- Definition, Concept Graph en de
ๆไปฌ็งฐไธไธชๅจ ๆ้ ๅ จๅบ้ๅ ไธ็ ๆๅ ไธบ ๅฅ ๆ ๅถ ๏ผๅฝไธบๅฅๆไธบๅถ; ็งฐ่ฟไธชๅฅๆๅถ็ๆง่ดจไธบ็ ๅฅๅถๆง ใ
- Definition, Notations, Concept Graph tr ro
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 ไธไธช้ๅๆฏ็ ๅญ้ (ๅไฝ)๏ผๅฝไธไป ๅฝใ
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 ็งฐไธไธช ๅ ณ็ณป ไธบๅจ ๅฎไนๅ (ๅไฝ) ๅ ๅผๅ (ๅไฝ)ไธ็ ๅๅฝๆฐ ๏ผๅฝไธไป ๅฝๅฏนไบๆๆๅญๅจๆๅคไธไธช ๆปก่ถณใ
ๆไปฌ่ฎฐไฝไปฅๅ ๏ผ่ไธๆฏใ
- Definition, Notations, Concept Graph tr ro
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 ไปคๅไธบ้ๅ๏ผๅๅฎไนๅ ๅฏน ็้ๅไธบ ๏ผๆไปฌ็งฐ ไธบไธไธช ๅฏน ใ
- Definition, Notations, Concept Graph tr ro
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 mathml 0 mathml 0 ไปคๅไธบ้ๅ๏ผๅๅฎไนๅ ๅฏน ็้ๅไธบ ๏ผๆไปฌ็งฐ ไธบไธไธช ๅฏน ใ
- Definition, Concept Graph
็งฐๅ ณ็ณปไธบ
-
โข
ๅจไธๆฏ ๅฏน็งฐ ็๏ผๅฝไธไป ๅฝๅฏนไบๆๆ๏ผไปฅๅ๏ผๆ ใ
-
โข
ๅจไธๆฏ ้ๅฏน็งฐ ็๏ผๅฝไธไป ๅฝๅฏนไบๆๆ๏ผไปฅๅ๏ผๆ ใ
-
โข
ๅๅฏน็งฐ ็๏ผๅฝไธไป ๅฝไปฅๅ๏ผไฝฟๅพใ
-
โข
- Definition, Concept Graph en
ไปคๅไธบ ๆๆ็ฉบ้ด ใ็งฐไธไธช ๅฝๆฐ ไธบ ๅฑ้จๅ่ ๏ผๅฝไธไป ๅฝๅฏนไบๆๆ๏ผๅญๅจไธไธช ๅผ้ ๅ ๅซ๏ผไฝฟๅพๅพๅ ๅจไธบ ๅผ ็๏ผไปฅๅ้ๅถ ไธบ ๅ่ ็ใ
- Definition, Concept Graph en de
ไปคไธบไธไธช ้ๅ ๏ผๅไธไธช ๅบๆๆๅคซๆฏๅบ้ญๅ ็ฎๅญ (ๆ่ ้ญๅ ็ฎๅญ )ๆฏๆไธไธๆง่ดจ็ๅฝๆฐ
-
1.
( ็ฉบ้็ๅนถ้ๅฎๆ ใ
-
2.
ๅฏนๆๆ๏ผๆ( ๆฉๅฑๆง )
-
3.
( ไบๅ ๅนถ้ๅฎๆ )
-
4.
ๅฏนๆๆ๏ผๆ ( ๅน็ญ )
ๅฆๆๆฒกๆๅน็ญๅ ฌ็๏ผๆไปฌ็งฐๅ ถไธบ ้ข้ญๅ ็ฎๅญ ใ
ๆไปฌ็งฐไธไธช้ๅ ้ญ ้ๅ๏ผๅฝไธไป ๅฝใ
-
1.
- Definition, Notations, Concept Graph tr ro en de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 ไปคไธบไธไธช้ๅ๏ผๅฎไน็ ๅน้ ไธบใ
- Definition, Notations, Concept Graph tr ro en de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 ไปคๅไธบ้ๅ๏ผๅๅฎไนๅ็ ๅนถ้ ไธบใ
- Definition, Notations, Concept Graph en de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 ไปคไธบไธไธช ้ๅ ๏ผๅไธไธช ๅบๆๆๅคซๆฏๅบ้ญๅ ็ฎๅญ (ๆ่ ้ญๅ ็ฎๅญ )ๆฏๆไธไธๆง่ดจ็ๅฝๆฐ
-
1.
( ็ฉบ้็ๅนถ้ๅฎๆ ใ
-
2.
ๅฏนๆๆ๏ผๆ( ๆฉๅฑๆง )
-
3.
( ไบๅ ๅนถ้ๅฎๆ )
-
4.
ๅฏนๆๆ๏ผๆ ( ๅน็ญ )
ๅฆๆๆฒกๆๅน็ญๅ ฌ็๏ผๆไปฌ็งฐๅ ถไธบ ้ข้ญๅ ็ฎๅญ ใ
ๆไปฌ็งฐไธไธช้ๅ ้ญ ้ๅ๏ผๅฝไธไป ๅฝใ
-
1.
- Definition, Notations, Concept Graph en de
Languages Arguments Rendering mathml 1 ๅฏน็ปๅฎ ้ๅ ๏ผไธ็ ๆ็ญๅฝๆฐ ไปๆ ๅฐๅฐๅฎ่ชๅทฑใ
- Definition, Concept Graph en de
ไปคไธบไธไธช ้ๅ ๏ผๅไธไธช ๅบๆๆๅคซๆฏๅบ้ญๅ ็ฎๅญ (ๆ่ ้ญๅ ็ฎๅญ )ๆฏๆไธไธๆง่ดจ็ๅฝๆฐ
-
1.
( ็ฉบ้็ๅนถ้ๅฎๆ ใ
-
2.
ๅฏนๆๆ๏ผๆ( ๆฉๅฑๆง )
-
3.
( ไบๅ ๅนถ้ๅฎๆ )
-
4.
ๅฏนๆๆ๏ผๆ ( ๅน็ญ )
ๅฆๆๆฒกๆๅน็ญๅ ฌ็๏ผๆไปฌ็งฐๅ ถไธบ ้ข้ญๅ ็ฎๅญ ใ
ๆไปฌ็งฐไธไธช้ๅ ้ญ ้ๅ๏ผๅฝไธไป ๅฝใ
-
1.
- Definition, Notations, Concept Graph en de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 1 ไปคไธบไธไธช้ๅ๏ผไธบไธ็็ญไปทๅ ณ็ณป๏ผๅๅฏนไบไปปไฝ ๆไปฌ็งฐไธบ(ๅจไธ็) ็ญไปท็ฑป ๏ผๅนถ็งฐ้ๅ ไธบ(ๅจไธ็) ๅ็ฉบ้ด ใ ็งฐๆ ๅฐไธบๅฐ็ ๆๅฐ ใ
- Definition, Concept Graph en
ๅฎไนไธไธช ๆๆๆตๅฝข ไธบไธไธช ็ฌฌไบๅฏๆฐ ็ ่ฑชๆฏๅคๅคซ็ฉบ้ด ๏ผไธ่ฟไธช่ฑชๆฏๅคๅคซ็ฉบ้ดๆฏ้่ฟไธไธช่ขซ็งฐไธบ ๅพๅ ็ๆ้ไธ ๆฌงๅผ็ฉบ้ด ๅฑ้จๅ่ ็ใ
- Definition, Concept Graph en
ไธไธช ๆๆ็พค ๆฏไธไธช ็พค ไปฅๅไธไธช ๆๆ็ฉบ้ด ไฝฟๅพๅฎ็็พค ่ฟ็ฎ ๅๅ ้ ๅ ็ด ๆฏ ่ฟ็ปญ ๅฝๆฐใ
- Definition, Concept Graph
ๆไปฌ็งฐไธ็ไธไธชไบๅ ๅ ณ็ณปไธบ ๅๅบ (ๆ่ ๆๅบ )๏ผๅฝไธไป ๅฝๅฎๆฏ ่ชๅ ็ๅ ไผ ้ ็ใ
- Definition, Concept Graph en
ๅฆๆๆไปฌไธๆณๆ็กฎไธไธชๅๅฝๆฐๆฏๅฆไธบ ๅ จๅฝๆฐ ๆไปฌๅฐฑไป ไป ็งฐๅฎไธบ ๆน็จ ใ
- Definition, Concept Graph
็จ(ๅฝขๅผ)ๅๅ ๅฎไนไบไธไธช-็ปด ๅฝๆฐ ใ่ฟ้ๆไปฌ็งฐ ไธบ ๆน็จๆจกๅ ๏ผ็งฐไธบ
ไธป ไฝ โโ่ฟๆฏไธไธช่ฝๅๆฌๅๅ ็่กจ่พพๅผใๆ นๆฎๅฎไน็็ญไปท๏ผ็จ็ธๅ็ๆนๆณๅฎไน็้ขๆใ
- Definition, Concept Graph en de
ๆไปฌ็งฐไธไธช ้ๅ ๆฏ ๆ ้ๅฏๆฐ ็๏ผๅฝไธไป ๅฝๅญๅจไธไธช ๅๅฐ ๅฝๆฐใ
- Definition, Concept Graph en
่ฅๆฏไธไธช้ๅไธ็ ๅๅบ ๏ผ็งฐไธบไธไธช ๆๅ้ๅ ๏ผๅฝไธไป ๅฝๆๆ้ฝๆไธไธช ไธ็ ใ
- Definition, Concept Graph
ๆไปฌ็งฐไธไธชๆ็ปๆไปฅๅๅๅบๆง่ดจ็้ๅไธบไธไธช ๆๅบ้ ใ
- Definition, Concept Graph en de
ๆไปฌๆไธไธช้ๅไธบ ๆ้ ็๏ผไปฅๅๆ ๅบๆฐ (ๆ่ ้ๅ็ๅคงๅฐ )๏ผๅฝไธไป ๅฝๅญๅจไธไธช ๅๅฐ ๅฝๆฐ ใ
้ๅ็ๅบๆฐไน่ขซๅไฝ๏ผ๏ผ๏ผๆ่ ใ
- Definition, Concept Graph en
ๆไปฌ็งฐไธไธชๅๆน็จๅจไธ ๆชๅฎไน (ๅไฝ)๏ผๅฝไธไป ๅฝๅฏนไบๆๆ๏ผๆใ
- Definition, Concept Graph en de
ๅฆ ๆๆ็ฉบ้ด ็ๅญ้ใ็งฐไธไธช็น ไธบ็ ๆ้็น ๏ผๅฝๆๆ็ ้ปๅ ๅ ๅซ่ณๅฐไธไธช๏ผๅนถไธ .
- Definition, Concept Graph en
็ปด ๆฌงๅผ็ฉบ้ด ๆฏไปฝ ๆๆไน็งฏ ็ ๅฎๆฐ ็ฉบ้ด๏ผ่ไธๆฏๆ ็ฌๅกๅฐไน็งฏ ็ ๆๆ็ฉบ้ด ใ
- Definition, Notations, Concept Graph en de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 ไธไธช ๆ้ ๅ จๅบ้ๅ ไธ็ๆๅ็ๅฅๅถๆงๅฆๆไธบ ๅถ ๏ผ ๅๆๅ็ ็ฌฆๅท (ๆ่ ๆญฃ่ด )ไธบ๏ผๅ ถไปๆ ๅตไธ๏ผไธบ๏ผ ใ
- Definition, Concept Graph en de
็งฐไธไธชๅฝๆฐไธบ ๆปกๅฐ ๅฝไธไป ๅฝๅฏนไบๆๆๅญๅจไธไธชไฝฟๅพใ
- Definition, Notations, Concept Graph tr ro
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 ไธไธช้ๅๆฏ็ ็ถ้ (ๅไฝ)๏ผๅฝไธไป ๅฝใ
- Definition, Concept Graph tr en de
็งฐไธๆ้ๅ ไธคไธคๅ็ฆป ๆ่ ็ธไบๅ็ฆป ๏ผๅฆๆไปปๆๅ ถไธญ็ไธคไธช้ๅๆฏ ๅ็ฆป ็.
- Definition, Notations, Concept Graph tr ro
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 ็งฐไธคไธช้ๅๅๆฏ ็ธ็ญ็ (ๅไฝ)๏ผๅฝไธไป ๅฝๅฎไปฌๆๅฎๅ จ็ธๅ็ๅ ็ด ใ
- Definition, Notations, Concept Graph tr ro
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 ไธไธช้ๅๆฏ็ ็ๅญ้ (ๅไฝ)๏ผๅฝไธไป ๅฝไฝๆฏใ
- Definition, Notations, Concept Graph tr ro
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 0 ไธไธช้ๅๆฏ็ ็็ถ้ (ๅไฝ)๏ผๅฝไธไป ๅฝ ใ
- Definition, Concept Graph en de
็ฉบ้ (ไนๅไฝ)ๆฏไธไธชๆฒกๆๅ ็ด ็้ๅใ็งฐไธไธช้ๅไธบ ็ฉบ ๏ผๅฝไธไป ๅฝๅฎๆฏ๏ผๅฆๅๅฐฑ็งฐๅฎ ้็ฉบ ๏ผ
- Definition, Notations, Concept Graph tr en de
Languages Arguments Rendering mathml 0 mathml 0 ็ฉบ้ (ไนๅไฝ)ๆฏไธไธชๆฒกๆๅ ็ด ็้ๅใ็งฐไธไธช้ๅไธบ ็ฉบ ๏ผๅฝไธไป ๅฝๅฎๆฏ๏ผๅฆๅๅฐฑ็งฐๅฎ ้็ฉบ ๏ผ
- Definition, Concept Graph en de
ไปคไธบไธไธช ้ๅ ๏ผๅไธไธช ๅบๆๆๅคซๆฏๅบ้ญๅ ็ฎๅญ (ๆ่ ้ญๅ ็ฎๅญ )ๆฏๆไธไธๆง่ดจ็ๅฝๆฐ
-
1.
( ็ฉบ้็ๅนถ้ๅฎๆ ใ
-
2.
ๅฏนๆๆ๏ผๆ( ๆฉๅฑๆง )
-
3.
( ไบๅ ๅนถ้ๅฎๆ )
-
4.
ๅฏนๆๆ๏ผๆ ( ๅน็ญ )
ๅฆๆๆฒกๆๅน็ญๅ ฌ็๏ผๆไปฌ็งฐๅ ถไธบ ้ข้ญๅ ็ฎๅญ ใ
ๆไปฌ็งฐไธไธช้ๅ ้ญ ้ๅ๏ผๅฝไธไป ๅฝใ
-
1.
- Definition, Notations, Concept Graph en de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 ไธไธช ๆ้ ๅ จๅบ้ๅ ไธ็ๆๅ็ๅฅๅถๆงๅฆๆไธบ ๅถ ๏ผ ๅๆๅ็ ็ฌฆๅท (ๆ่ ๆญฃ่ด )ไธบ๏ผๅ ถไปๆ ๅตไธ๏ผไธบ๏ผ ใ
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 ไปคไธบไธไธชๅฏน๏ผๅๆไปฌ็งฐไธบ็ ็ฌฌไธๅ้ ไปฅๅไธบ ็ฌฌไบๅ้ ใ
- Definition, Notations, Concept Graph en de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 ๆไปฌ็งฐไธบ ็ฌฌไธๆๅฐ ไปฅๅไธบ ็ฌฌไบๆๅฐ ใ
- Definition, Notations, Concept Graph
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 ไปคไธบไธไธชๅฏน๏ผๅๆไปฌ็งฐไธบ็ ็ฌฌไธๅ้ ไปฅๅไธบ ็ฌฌไบๅ้ ใ
- Definition, Concept Graph en
ไธไธช ็ฌฌไบๅฏๆฐ็ฉบ้ด ๆฏไธไธชๆ ๅฏๆฐ ็ ๅบๅบ ็ ๆๆ็ฉบ้ด ใ
- Definition, Notations, Concept Graph en de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 ๆไปฌ็งฐไธบ ็ฌฌไธๆๅฐ ไปฅๅไธบ ็ฌฌไบๆๅฐ ใ
- Definition, Concept Graph en de
็งฐไธไธชๅ ณ็ณปไธบไธ็ ็ญไปทๅ ณ็ณป ๏ผๅฝไธไป ๅฝ ๆฏ ่ชๅ ็๏ผ ๅฏน็งฐ ็๏ผไปฅๅ ไผ ้ ็ใ
- Definition, Notations, Concept Graph en de
Languages Arguments Rendering mathml 2 ไปคไธบไธไธช้ๅ๏ผไธบไธ็็ญไปทๅ ณ็ณป๏ผๅๅฏนไบไปปไฝ ๆไปฌ็งฐไธบ(ๅจไธ็) ็ญไปท็ฑป ๏ผๅนถ็งฐ้ๅ ไธบ(ๅจไธ็) ๅ็ฉบ้ด ใ ็งฐๆ ๅฐไธบๅฐ็ ๆๅฐ ใ
- Definition, Concept Graph de
ๆไปฌ็งฐไธไธช ๅๅบ ไธบไธไธช ๅ จๅบ (ๆ่ ็บฟๆงๆฌกๅบ )๏ผๅฝไธไป ๅฝๅฏนไบๆๆ๏ผๆ ๆ่ ใ
ๆไปฌ็งฐไธไธชๆ็ปๆไปฅๅๅ จๅบๆง่ดจ็้ๅไธบไธไธช ๅ จๅบ้ๅ ใ
- Definition, Notations, Concept Graph en de
Languages Arguments Rendering mathml 2 ๆไปฌๅฐๅ ณ็ณป็ ็ปดๅคๅ ๅไฝ ๏ผๅนถ็จไปฅๅ ๅฎไนๅฎใ
- Definition, Notations, Concept Graph en
Languages Arguments Rendering mathml 2 ไปคไธบไธไธช้ๅ๏ผๅไธ็ ็ปด็ฌๅกๅฐ็ฉบ้ด ไธบใ ๆไปฌ็งฐไธบไธไธช ๅ้ ใ
- Definition, Concept Graph zht
็งฐๅฝขๅฆ็ๅ ณ็ณปไธบ
-
โข
ๅจไธ ่ชๅ , ๅฝไธไป ๅฝๅฏนไปปๆ , ้ฝๆ
-
โข
ๅจไธ ๅ่ชๅ , ๅฝไธไป ๅฝๅฏนไปปๆ , ้ฝๆ
-
โข
- Definition, Concept Graph en
็งฐ ๆๆ็ฉบ้ด ไธบ ไธ่ฟ้ ็๏ผๅฆๆๅฎๆฏไธคไธช ๅ็ฆป ้็ฉบ ๅผ ้ๅ็ ๅนถ้ ใ
่ฅไธไธช็ฉบ้ดๅนถ้ ไธ่ฟ้็ ๏ผๅ็งฐๅฎไธบ ่ฟ้ ็ใ
- Definition, Notations, Concept Graph en de
Languages Arguments Rendering mathml 1 ๅฆๆๆฏ ๅๅฐ ็๏ผๅ ้ๅ ณ็ณป ๆฏๅๅฝๆฐ ๏ผๆไปฌ็งฐๅฎๆฏ็ ้ๆน็จ ใๅฆๆๆฏ ๅๅฐ ็ ๅ จๅ ณ็ณป ๅฝๆฐ๏ผๅๆฏไธไธช ๅ จๅฝๆฐ ใ
- Definition, Concept Graph zht en
ไธไธชๅ ็ด ็ ้ๆฐ (ๆ ้ๅคๅบฆ )ๆฏๆ่ฟไธชๅ ็ด ๅจๆญค ๅค้้ ไธญๅบ็ฐ็ๆฌกๆฐใ
- Definition, Concept Graph zht en
ไธไธชๅ ็ด ็ ้ๆฐ (ๆ ้ๅคๅบฆ )ๆฏๆ่ฟไธชๅ ็ด ๅจๆญค ๅค้้ ไธญๅบ็ฐ็ๆฌกๆฐใ
- Definition, Concept Graph en de
ไปคไธบไธไธช ้ๅ ๏ผๅไธไธช ๅบๆๆๅคซๆฏๅบ้ญๅ ็ฎๅญ (ๆ่ ้ญๅ ็ฎๅญ )ๆฏๆไธไธๆง่ดจ็ๅฝๆฐ
-
1.
( ็ฉบ้็ๅนถ้ๅฎๆ ใ
-
2.
ๅฏนๆๆ๏ผๆ( ๆฉๅฑๆง )
-
3.
( ไบๅ ๅนถ้ๅฎๆ )
-
4.
ๅฏนๆๆ๏ผๆ ( ๅน็ญ )
ๅฆๆๆฒกๆๅน็ญๅ ฌ็๏ผๆไปฌ็งฐๅ ถไธบ ้ข้ญๅ ็ฎๅญ ใ
ๆไปฌ็งฐไธไธช้ๅ ้ญ ้ๅ๏ผๅฝไธไป ๅฝใ
-
1.
- Definition, Notations, Concept Graph en de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 0 ไปคไธบไธไธช ้ๅ ๏ผๅไธไธช ๅบๆๆๅคซๆฏๅบ้ญๅ ็ฎๅญ (ๆ่ ้ญๅ ็ฎๅญ )ๆฏๆไธไธๆง่ดจ็ๅฝๆฐ
-
1.
( ็ฉบ้็ๅนถ้ๅฎๆ ใ
-
2.
ๅฏนๆๆ๏ผๆ( ๆฉๅฑๆง )
-
3.
( ไบๅ ๅนถ้ๅฎๆ )
-
4.
ๅฏนๆๆ๏ผๆ ( ๅน็ญ )
ๅฆๆๆฒกๆๅน็ญๅ ฌ็๏ผๆไปฌ็งฐๅ ถไธบ ้ข้ญๅ ็ฎๅญ ใ
ๆไปฌ็งฐไธไธช้ๅ ้ญ ้ๅ๏ผๅฝไธไป ๅฝใ
-
1.
- Definition, Notations, Concept Graph en de
Languages Arguments Rendering mathml 2 ไปคไธบไธไธช ๅฝๆฐ ๅนถไธ๏ผๅๆไปฌ็งฐๅฝๆฐไธบๅฐไธ็ ้ๅถ ใ
- Definition, Notations, Concept Graph tr ro en de
Languages Arguments Rendering mathml 2 mathml 2 mathml 0 ไปคๅไธบ้ๅ๏ผๅๅ็ ้ๅๅทฎ ไธบใ
- Definition, Notations, Concept Graph en de
Languages Arguments Rendering mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 1 mathml 0 mathml 0 mathml 0 ๆไปฌๆไธไธช้ๅไธบ ๆ้ ็๏ผไปฅๅๆ ๅบๆฐ (ๆ่ ้ๅ็ๅคงๅฐ )๏ผๅฝไธไป ๅฝๅญๅจไธไธช ๅๅฐ ๅฝๆฐ ใ
้ๅ็ๅบๆฐไน่ขซๅไฝ๏ผ๏ผ๏ผๆ่ ใ
- Definition, Concept Graph
็งฐๅ ณ็ณปไธบ
-
โข
ๅจไธๆฏ ๅฏน็งฐ ็๏ผๅฝไธไป ๅฝๅฏนไบๆๆ๏ผไปฅๅ๏ผๆ ใ
-
โข
ๅจไธๆฏ ้ๅฏน็งฐ ็๏ผๅฝไธไป ๅฝๅฏนไบๆๆ๏ผไปฅๅ๏ผๆ ใ
-
โข
ๅๅฏน็งฐ ็๏ผๅฝไธไป ๅฝไปฅๅ๏ผไฝฟๅพใ
-
โข
- Definition, Concept Graph en de
็ฉบ้ (ไนๅไฝ)ๆฏไธไธชๆฒกๆๅ ็ด ็้ๅใ็งฐไธไธช้ๅไธบ ็ฉบ ๏ผๅฝไธไป ๅฝๅฎๆฏ๏ผๅฆๅๅฐฑ็งฐๅฎ ้็ฉบ ๏ผ
- Definition, Concept Graph en de
ไปคไธบไธไธช ้ๅ ๏ผๅไธไธช ๅบๆๆๅคซๆฏๅบ้ญๅ ็ฎๅญ (ๆ่ ้ญๅ ็ฎๅญ )ๆฏๆไธไธๆง่ดจ็ๅฝๆฐ
-
1.
( ็ฉบ้็ๅนถ้ๅฎๆ ใ
-
2.
ๅฏนๆๆ๏ผๆ( ๆฉๅฑๆง )
-
3.
( ไบๅ ๅนถ้ๅฎๆ )
-
4.
ๅฏนๆๆ๏ผๆ ( ๅน็ญ )
ๅฆๆๆฒกๆๅน็ญๅ ฌ็๏ผๆไปฌ็งฐๅ ถไธบ ้ข้ญๅ ็ฎๅญ ใ
ๆไปฌ็งฐไธไธช้ๅ ้ญ ้ๅ๏ผๅฝไธไป ๅฝใ
-
1.